近代概率论题库(计算证明题部分)

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1、近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好封信，又写好个信封，然后在黑暗中随机地把封信放入个信封中（一个信封中只能放一封信），试求至少有一封信放对的概率。（10分）一、解：若以记第封信与信封符合，则所求的事件为：。不难求得：，，，故二、从数字中（可重复地）任取次，试求所取的个数的乘积能被10整除的概率。（10分）二、解：个数的乘积要能被10整除，则这个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5。因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件个。设={所取的个数的乘积能被10整除}，={所取的个数中至少有一个是偶数}，={所取的个数中至少有一个

2、为5}，则为所取的个数全为奇数，故所含基本事件数为；为所取的个数无5，故所含基本事件数为；为所取的个数全为奇数且不含5，故所含基本事件数为，且所以由计算公式得：三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为1，求经过次移动后回到出发点的概率。（10分）三、解：若要在次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为。故所求的概率为：四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布。而每个放射出的粒子被记录下来的概率均

3、为。如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录下的粒子数的分布。（10分）四、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数服从参数为泊松分布，求成功次数和失败次数的概率分布，并证明与相互独立。（10分）五、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：同理进一步地，六、若是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数，而及相当于把按大小顺序重新排列为的末项和首项，求及的分布函数，并求的联合分布函数。（10分）六、解：首先求的分布函数：再求的分布函数：因为所以最后求的联合分布函数：

4、记若，则若，则七、设与相互独立，且均服从上的均匀分布，证明：与相互独立且均服从标准正态分布。（10分）七、证明：因为则因此故雅可比行列式为：因为与相互独立，故的密度函数为：因为的密度函数为：因而，与的边际密度函数分别为：并且，因而与相互独立且均服从标准正态分布。八、（10分）已知随机向量服从多项分布，即这里且仅当时上式才成立，否则为0.求随机向量的各个分量之间的协方差和相关系数。八、解：显然，因此注意到因此由于因而有相关系数为：。九、袋中有张卡片，各记以数字，不放回地从中抽出张，求其和的数学期望和方差。（10分）九、解：取一张时，其数字的均

5、值及方差分别为及若以记张卡片的数字之和，以记第次抽得的卡片上的数字，则由于抽签与顺序无关，因此故所以在上式中令，因为是一个常数，因此，于是因而于是。十、掷5颗骰子，求所得总和为15的概率。（提示：利用母函数）（10分）十1、解：以表示第颗骰子掷出的点数，则总和为：因服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为又因为相互独立，故其和的母函数为：。于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。由于因此。十2、（10分）掷5颗骰子，求所得总和为16的概率。（提示：利用母函数）解：以表示第颗骰子掷出的点数，则总和为：。。。。。2分因服从1到6上的等可

6、能分布，故其母函数均为。。。。。1分又因为相互独立，故其和的母函数为：。。。。。。2分于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。。。。。1分由于。。。。。2分。。。。。1分因此。。。。。。1分十一、求正态分布的特征函数。十一、解：先讨论的场合：由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得因此由于，故，因此对于的场合，因为，故由特征函数的性质可知其特征函数为：十二、（10分）设是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且具有有限的数学期望，证明：对任意的，有十二、证明：由于具有相同分布，故有相同的特征函数，设为，因为数学期望存在，故可

7、展开成：。。。。。2分而的特征函数为：。。。。。2分对固定的，。。。。。2分由于极限函数是连续函数，它是退化分布所对应的特征函数，根据逆极限定理知：的分布函数收敛于。。。。。。2分最后根据以概率收敛和依分布收敛的关系可知：以概率收敛于常数，从而结论成立。。。。。。2分十三、设是独立同分布的随机变量序列，且，令证明：若，则（10分）十三、证明：记的特征函数为，则的特征函数为。。。。。。2分由于故。。。。。。2分因此。。。。。。2分所以。。。。。。2分由于是连续函数，它对应的分布函数为，因此由逆极限定理知因此结论成立。。。。。。。2分十四、若为

8、可测空间上满足的非负集合函数，证明：它具有可列可加性的充要条件为：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的。十四、证明：即要证明其中互不相容，且。。。。。。2分取由立刻得到式。。