随机信号与分析课后答案王琳

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1、第一章随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。基本内容一、概率论1、古典概型用表示所观察的随机现象（事件），在中含有的样本点（基本事件）数为，则定义事件出现的概率为（1-1）2、几何概型用表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为,则规定事件出现的概率为（1-2）3、统计概率对次重复随机试验，事件在这次试验中出现的次数称为频数。用事件发生的频数与试验次数的比值称为频率（1-3）4、概率空间对随机试验，试验的各种可能结果（称基本事件、样

2、本点）构成样本空间（也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域（中的每一个集合称为事件）。若事件，则就是事件的概率。并称为一个概率空间，而样本空间，事件域，概率是构成概率空间的三个要素。二、随机变量1、随机变量的概念设已知一个概率空间，对，是一个取实数值的单值函数，则对任意实数，是一个随机事件，且，则称为随机变量。显然，随机变量总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。为了方便，此后若无特别需要将随机变量简记为。2、随机变量的概率密度函数定义随机变量的累积概率分布函数为而把它的导数定义为随机变量的概率密度函数。3、

3、条件分布函数对随机变量，是一事件（为一确定实数），则在给定事件条件下，事件发生的概率称为随机变量的条件分布函数，即式中表示联合事件的联合概率。式（1-18）对求微分，可得到相应的条件概率密度函数：更一般地，可以将上述概念推广到多维随机变量的场合，如在维随机变量中，在的取值为的条件下，的条件概率密度函数为进而还可得出4、随机变量独立性利用条件分布函数的概念，可以对随机变量的独立性进行直观地解释。若随机变量、相互独立，则意味着（或）发生的概率与（或）是否发生没有关系，从而可以得到更一般地，对维相互独立的随机变量有三、随机变量数字特征1、数学期望用符号表示统计平均的运算，则定义为随机

4、变量的数学期望，它表示了随机变量取值的集中点，是随机变量概率密度函数的中心，也称均值。随机变量的函数的数学期望为若随机变量、的二维联合概率密度函数为，已知的取值为的条件下，的条件概率密度函数为，和已知的取值为的条件下，的条件概率密度函数为，则为条件数学期望（又称条件均值）。2、方差方差是一个描述随机变量的取值偏离其统计均值的分散程度的指标，其定义是式中是的概率密度函数。式中称为随机变量的均方值。3、相关系数与协方差对随机变量、，定义为和之间的互相关矩。定义为和的互协方差。显然二者之间有关系从上可见，互协方差也就是零均值化的互相关矩。相关系数，也称归一化协方差或标准协方差：由于，

5、这样我们就可以解决这一问题。当时，表明和强烈相关，只要知道其中一个随机变量，就可以准确地估计另一个随机变量，当时，表明和互不相关；当在与之间取不同值时，反映了和之间不同的相关程度。大，相关性就大；小，相关性就小。就上面所及的例子而言，若，则表明和之间的相关程度比与之间的相关程度大，反之亦然。4、统计独立、不相关与正交的概念1）两个随机变量和互不相关，是指相关系数，根据相关函数的定义可以推知两随机变量互不相关的必要条件为：或2）若两随机变量统计独立，则其联合概率密度函数可以写为两个随机变量各自概率密度函数的乘积：或两个随机变量的联合矩可分解为3）若两随机变量和是正交的，则有或5、

6、矩与数字特征矩是一组重要的数字特征，利用所有的各阶矩的集合，可以唯一地确定随机变量的概率分布函数，或辅助描述随机变量概率分布的性质，随机变量的矩分为原点矩和中心矩，对二维随机变量还有联合矩。1）原点矩与中心矩一维随机变量的阶矩，定义为随机变量次幂的数学期望。设为随机变量，用表示它的阶原点矩，则的阶原点矩为若的均值为，则定义零均值化后的随机变量的次幂期望为随机变量的阶中心矩。比对可给出原点矩和中心矩之间的关系如下2）联合矩对二维随机变量，可类似地定义联合矩。若、为随机变量，其阶联合矩定义为当上式中时，称为互相关矩。若和的均值分别为、，则称为阶联合中心矩。四、特征函数随机变量的特征

7、函数是为了方便前述与随机变量有关的计算而引入的。例如高阶矩的计算，多个如两个相互独立的随机变量和、差、积的概率密度函数的求取等等。1.特征函数的定义及其性质设有随机变量，其函数也是一个随机变量，定义的数学期望为随机变量的特征函数，亦式中是的概率密度函数。可见特征函数就是概率密度函数的傅里叶变换，所以可以用随机变量的特征函数的傅里叶反变换求得随机变量的概率密度函数：从上可知，随机变量的特征函数与其概率密度函数是一个傅里叶变换对。所以，傅里叶变换与傅里叶反变换所具有的一切优良性质及求取方法它们都