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1、变化率与导数学案一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:(一)、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;(二)、求曲线的切线;(三)、求已知函数的最大值与最小值;(四)、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、知识梳理（
2、一）、平均变化率1、气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?hto分析：(1)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2、高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速
3、度第8页共8页探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？3、平均变化率概念（1）、上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.（2）、设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即=或者=，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即=；如果它们的比值，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.（3）、所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.（4）、思考:观察函数的图象平均
4、变化率表示什么?4、基础练习：1、在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是，则下列说法不正确的是（ ）A在这段时间里，平均速度是B 在这段时间里，平均速度是C运动员在时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在内的平均速度比在的平均速度小2、将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（ ）A B C D 3、在内的平均变化率为（）A．3B．2C．1D．04、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）A．B．第8页共8页C．D．5、质点运动动规
5、律，则在时间中，相应的平均速度为（）A．B．C．D．6、在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（ ）A B C D 7、函数在处有增量，则在到上的平均变化率是 8、正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？ （二）、导数的概念1、瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:（教材P4页）思考:当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？结论：瞬时速度
6、是平均速度当趋近于0时的2、导数的概念函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即强调：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.第8页共8页(5),当时,,所以3、基础练习1、自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）A在区间上的平均变化率B在处的变化率C在处的
7、变化率D在区间上的导数2、下列各式中正确的是（）ABCD3、设，若，则的值（）A2B.－2C3D－34、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（）A0B3C－2D5、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度为6、函数，在处的导数是（三）、导数的几何意义1、曲线的切线及切线的斜率如图,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？我们发现:问题:(1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？第8页共8页(2)切线的斜率为多少？说明:(1)设切线的倾斜角为,那么
8、当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.2、导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出点的坐标;②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.3、导函数由函数在处求
