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1、§3.1变化率与导数学案§3.1.1变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题
2、最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?hto分析：(1)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?-12-问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:
3、)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速度探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设,(这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考:观察函数的图象平均变化率表示什么?-12-三、典例分析例1已知函数的图象上的一点及临近一点，则.解:例2求在附近的平均变化率.解:四、课堂练习
4、1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为.2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.3.过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.五、课堂反馈1．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A B C D 2．一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（ ）A －4 B －8 C 6 D －63．将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（ ）A B C D -12-1．在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（ ）A B C D 5．函数的平均变
5、化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的 6．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的 7．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是 8．正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？ 9．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出（1）求t＝2秒时，P点转过的角度（2）求在时间段内P点转过的平均角速度，其中①，②③-12-§3.1.2导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就
6、是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.学习过程：一、创设情景hto(一)平均变化率：(二)探究探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:思考:当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？结论:小结:-12-2.导数的概念从函数
7、在处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数,记作或即说明:(1)导数即为函数在处的瞬时变化率;(2),当时,,所以.三、典例分析例1(1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:先求,再求,最后求.解:(1)(2)例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注:一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.-12-四、课堂练习1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.2.求曲线在时
8、的导数.3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）A在区间上的平均变化率B在处的变化率C在
