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1、广义Agard偏差函数的性质浙江理工大学,第28卷,第5期,2011年9月JournalofZhejiangSci—TechUniversityVo1.28,No.5,Sept.2011文章编号:1673—3851(2011)05—0825—06广义Agard偏差函数的性质马晓艳h,裘松良h,钟根红,赵叶华.(1.浙江理工大学,a.理学院,b.科技与艺术学院,杭州310018;2.杭州电子科技大学数学研究所,杭州310018)摘要:探讨一些由广义Agard偏差,~-gz佻(口,)定义的函数的单调性及凹凸性,并由此获得了关于(口,at),a(a,K)的一些不等式.关
2、键词:(口,z);a(a,K);单调性;不等式;凹凸性中图分类号:O174文献标识码:A0引言本文当rEEo,1]时,r一~/1一.当r∈E0,l,z,KE(0,oo),广ft.Agard偏差凼数定义为一()一()一√,㈩当一1时,即为广义线性偏差函数K一一[].(2)这里)一(K),r)一—2sin(=a),(3)‰(r)一号F(口,1--a;1;r),n(r)一‰(r),(4)其中F(a,6;c;or)即为高斯超几何函数,其定义为)一zF1(z)一薹Izl<1,(5)这里,当以≠O时(以,0)一1,对于nEN,有(&,)=a(aq-1)…(a+n
3、--1).很显然(1/2,z)一(z),a(~/2,K)===(K),'7K()即为Agard在研究平面拟共形映照中引入偏差函数引,对于K∈(0,oo),rE(o,1),一,/厂,z一(r/r),其定义为一().[『,0<一.并且r/.(1)一(K),这两个函数在拟共形映照的极值问题和拟正则映照及拟对称函数等数学领域中发挥重要的作用刮.因此,对广义Agard偏差函数(n,)理论的研究有着重要的理论意义和应用价值.当以一1/2时,式(3),式(4)中的函数即为Hersch—Pfluger一偏差函数(r)[.以及Gr6tzcsh极值环收稿日期:2O1O一1O—O
4、8基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771195);浙江省教育厅科学研究基金资助项目(Y200908819)作者简介:马晓艳(1979一),女,吉林梅河口人,硕士,讲师,主要从事复分析的研究.826浙江理工大学2011年第28卷B./[o,r]的模(r)(B表示单位圆盘),其定义为(r):==(吉,r)一((r)/K),(r)一,ul/2(r)一号等,其中K(r)一K(r)一号F(专,1;1;)为第一类完全椭圆积分[~0-1z].广义Agard偏差函数的性质比偏差函数r/(￡)的性质要少的多,因此对前者研究更困难些.本文的目的是给出一些由(,z)定义的函数的
5、单调性,并由此获得关于(口,z)与A(a,K)的相关不等式.本文当r∈[0,1]时,r一1一r,以E(0,1/2-I,且R(口)一一27--~(a)一(1--a),这里),=0.5721…为Euler常数,为经典的psi函数.这里R(专)一一2(y+(专))一log16表示Ramanujan常数[引.在本文的研究中,下面的引理起着重要的作用.为便于引用,现叙述如下:引理对于任意aE(0,专],KE(1,o0),rE(o,1),令一(口,r),则函数a)厂(r)一K(s)/K.(r)从(O,1)到(1,K)上单调上升;b)g(r)一5K.(s)/(rK(r))从(O
6、,1)到(0,1)上单调下降;c)^(r)=sK.(s)/(rK.(r))从(0,1)到(1,∞)上单调下降.1主要结果足理1设K>1,a)在R上定义函数厂(x)~logr]K(口,)以及L厂2(z)三((n,)),则函数A7('~(--oc,+..)上严格单调上升且是向下凸的,并对于所有的xE(一∞,+..),满足条件(R)一R,1/K<f'(z)<K;而函数-厂2严格单调下降且是向下凸的,并满足条件-厂2(R)∈(0,Cx3).特别地,成立不等式≤()≤而,(6)√'c'第一个等号成立当且仅当c=d,第二个等号成立当且仅当K一1且c=d.对于
7、所有的O<c~d,成立不等式(≤≤(各等号成立当且仅当K===1或c=d.b)函数(x)~rlK(n,x)yK(口,l/x)在(O,1](El,oo))上严格单调下降(上升).特别地,xCN~-N∈(0,..)以及KEE1,..),成立不等式2(a,K)≤(以,z)(以,l/x),(8)等号成立当且仅当一1或K一1.c)函数A()三～rl(,)在(o,∞)上单调下降,函数(x)=--x--1/K7~(,)在(0,∞)上单调上升,且(O,oo)一e(K_1],..),^(O,oo)一(e(～/K)-~,oo).d)函数-厂6(z)三丝-i~(0,1)上单调下降
8、,在(1,
