广义积分的性质.ppt

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1、§2无穷积分的性质与收敛判别教学内容：1.无穷积分的性质2.无穷积分收敛的判别教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。一.无穷积分的性质1.无穷积分收敛的柯西准则定理11.1：2.无穷积分的性质性质1：性质2：3.无穷积分收敛的充要条件4.无穷积分的绝对收敛与条件收敛绝对收敛；条件收敛。性质3：说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。（今后举例说明）二.无穷积分敛散性的判别1.无穷积分收敛的充要条件2.无穷积分收敛的比较判别法（1）不等式形式定理11.2：定理指出：大收敛则小收敛；

2、小发散则大发散。（与级数类似）例1：解：（2）极限形式推论1：注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时只能判别发散；2.用此推论时要找分母的g(x)且3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数。3.无穷积分收敛的柯西判别法推论2：推论3：注意：1.实际应用中，常用推论3；2.用推论3时要找p,使同时满足p及3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。例2：讨论下列无穷积分的收敛性解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3三.无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法1.无穷积分收敛的狄利克雷判别法定理11.3：(狄利克雷判别法）定

3、理11.4：(阿贝耳判别法）3.无穷积分收敛的阿贝耳判别法注意：1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分；2.用这两个判别法关键是选择适当的f(x)及g(x)；3.在狄利克雷判别法中，一般令f(x)为sinx或cosx；例3：说明：只讨论前者，后者类似可得。解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别法或柯西判别法，结合例1，我们可以先考虑判别它是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别法或阿贝耳判别法。解：综1.(2)及2.知：利用此例可以解下例例4.证明下列无穷积分都是条件收敛的：证：说明：从此例可以看到：