第3单元基本初等函数

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1、第三单元函数一．知识结构二．要点精讲1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）．幂的有关概念①规定：1）N*；2）；n个3）Q，4）、N*且。②性质：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）．对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，记作；2

2、）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。③运算性质：如果则1）；2）；3）R）。④换底公式：1）；2）。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。①，②，③①，②，③，③函数值的变化特征：（2）对数函数：

3、①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：①，②，③.①，②，③.三．典例解析题型1：指、对数运算1．计算（1）；（2）；（3）。（4）计算：；解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。（4）原式=；点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试

4、中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。题型2：指数、对数方程的解法1.　解方程．　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．2．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当时，两个函数图象有两个公共点，所以

5、原方程根的个数为2个。3．（2008广东理7）设，若函数，有大于零的极值点，则（B）A．B．C．D．【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型3：指、对数不等式的解法1.　已知，则x的取值范围是___________．　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．　　解：∵，　　∴函数在上是增函数，　　∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边

6、都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．2．解关于的不等式解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为题型4：指、对数函数的概念与性质1．设（）A．0　B．1C．2D．3解：C；，。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。2.求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2;(2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴

7、y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.3．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；（2）由得，∴函数的定义域是；（3）由9-得-3，∴函数的定义域是4.比较下列各组数的大小：　　（1）若，比较与；　　（2）若，比较与；　　（3）若，比较与；　　（4）若，且，比较a与b；　　（5）若，且，比较a与b．　　　解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．　　（2）由，故．又，故．从而．