陈湘平(中考动态几何问题的解题策略)

陈湘平(中考动态几何问题的解题策略)

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1、中考动态几何问题的解题策略广东省珠海市第四中学 519015  陈湘平春去秋来,花开花落,斗转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中。动态的几何问题是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等等,这类问题由于其新颖性、独特性、灵活性,常以压轴题在中考中出现,并渐渐成为近几年中考的热点。动和静是对立的,又是统一的,不论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探究此类问题是解决这类问题的基本策略。下举例说明之:例1  如图,AB是直线l上的两点,AB=

2、4cm过l外一点C作CD∥l,射线BC与l所成的锐角∠1=60°,线段BC=2cm。动点P、Q分别从BC同时出发,P以每秒1cm的速度由B向C方向运动,Q以每秒2cm的速度由C向D方向运动,设P、Q运动的时间为t(秒),当t>2时,PA交CD于E。(1)用含t的代数式表示CE和QE的长;(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式;(3)当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米?(吉林省中考题)CDQPAB解:(1)BP=t,CQ=2t,PC=t-2,∵EC∥AB,∴=,得CE=,QE=QC-EC=2t-=。(2)S=(t2-2t+4)。(3)当QE恰好平分△APQ的面积时,则AE=PE

3、,∵EC∥AB,∴PC=CB,即t-2=2,t=4。∴QE==6(cm).点评:通过寻找题目中的不变量,不变关系,找出运动的规律,是解决这类问题的有效策略。对于(1)问,无论t怎么变化,=,从而CE、QE的表达式容易求出;对于(3)问,由QE平分△APQ的面积,可联想到AE=PE,此时C为PB的中点,可建立t的方程解决。例2  已知:如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点EF分别从点B、点A出发,点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动,点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为t(秒)。(1)当t为何值时,线段EF与BC平行?(1

4、)设1<t<2,当t为何值时,EF与半圆相切?(2)当1≤t<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给出证明,并求AP∶PC的值。     (江西省中考题)ABCDABCDABCDABCD图(c)图(b)图(a)EFEFEFPG解:(1)设E、F出发运动了t秒时,EF∥BC,如图(a),则BE=t,CF=4-2t,由t=4-2t得t=,即当t=秒时EF∥BC。(2)设E、F出发运动了t秒时,EF与半圆相切,∵1<t<2,∴E、F分别在BA、CD上,如图(b),过点F作FG⊥AB于G,则FG=BC=2,BE=t,CF=4-

5、2t,EG=t-(4-2t)=3t-4,EF=BE+CF=4-t,又∵EF2=EG2+FG2即(4-t)2=(3t-4)2+22,解得t=。故当t=秒时,EF与半圆相切。(3)设E、F出发运动了t秒时,∵1≤t<2,∴EF的位置如图(c)则AE=2-t,CF=4-2t,由AB∥CD有===,即点P的位置与t的取无关,即点P的位置不会发生变化。点评:动静是对立的,但同时是相互联系的,静是动的瞬间,是动的一种特殊情形,把动转化为静是解决这类问题的很重要的思想方法。根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解。对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于t的方程;对于(3),点P的位置是否会发生变化,只

6、需看是否为一定值。例3  已知一个三角形纸片ABC,面积为25,BC边长为10,∠B和∠C都为锐角,M为AB上一动点(M与A、B不重合)。过M作MN∥BC,交AC于点N。设MN=x.(1)用x表示△ABC的面积S△ABC(2)用△AMN沿MN折叠,使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点为A/,△A/MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。  ①试求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;②当x为何值时,重叠部分的面积y最大,最大值是多少?(苏州市中考题)A//ABCABCABCA//M/N/M/N/M/N/FE解:(1

7、)S△ABC=x2; (2)①当点A/在四边形BCNM内或在BC上时,即0<x≤5时,y=x2;②当点A/在四边形BCNM外时,即5<x<10时,y=S△A^MN-S△A^EF=x2-(x-5)2=-x2+10x-25;(3)当0<x≤5时,取x=5,ymax=6.25;当5<x<10时,y=-(x-)2+,取x=ymax=>6.25。点评:几何动态既是一类问题,也是一种思维方式,运用几何动态的思

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