必修5基本不等式-34

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1、年级高一学科数学版本人教新课标A版课程标题必修5基本不等式：（a，b≥0）编稿老师王志国一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1.探索并了解基本不等式的证明过程。2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。二、重点、难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．三、考点分析：基本不等式是不等式变形的一个重要依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母或参数的变化范围、求解实际问题等，在各类题型中我们几乎都能找到它的身影。考试内容要求层次ABC不等式基本

2、不等式：（）用基本不等式解决简单的最大（小）值问题√1.尽管基本不等式的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不等式的意义、性质推导出来的．凡是可用它获证的不等式，均可直接根据不等式的意义、性质证得．因此，在基本不等式的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用．2.用基本不等式不但可以处理两个正数的和与积这种形式的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和及其他形式的不等式，由公式和可以得到以下几个重要结论：（1）（当且仅当时，等号成立）；（2）（当且仅当时，等号成立）；（3）（

3、当且仅当时，等号成立）；第9页版权所有不得复制（4）（都是正数，当且仅当时，等号成立）．3.在使用公式和时，要注意这两者成立的条件是不相同的，前者只要求都是实数，而后者还要求都是正数．4.利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当都为正数，且为定值时，有（定值），当且仅当时，等号成立，此时有最小值；（2）当都为正数，且为定值时，有（定值），当且仅当时，等号成立，此时有最大值．5.创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是我们经常用到的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；

4、三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．6.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能．若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用基本不等式把问题转化．其中“一正、二定、三相等”在解题中具有双重功能，既有对条件的制约作用，又有对解题的导向作用．知识点一：基本不等式例1.已知a>0，b>0，a+b=1，求证：思路分析：由题意，将1用a+b来替换，再利用不等式的性质即可得证.解答过程：解法一：∵a>0，b>0，a+b=1，左边

5、当且仅当时取“=”。解法二：∵a>0，b>0，a+b=1，当且仅当即时，取“=”。第9页版权所有不得复制所以原不等式成立.解题后的思考：利用基本不等式证明不等式是否成立是用综合法证明不等式中的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。例2.已知，求的最大值思路分析：本题满足为定值，但因为，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。解答过程：即。当且仅当即时等号成立，故解题后的思考：在应用基本不等式时，一定要注意前提条件——两数均为正数。例3.求

6、下列各题的最值.（1）已知x>0，y>0，lgx+lgy=1，求的最小值；（2）已知x<3，求的最大值；（3）已知x∈R，求的最小值.思路分析：（1）由lgx+lgy=1得xy=10，故可用基本不等式.（2）由于不是常数，故需变形又x－3<0，故需变号.（3）虽然（为常数），但利用基本不等式时，常数却取不到等号，故需利用函数的单调性。解答过程：（1）由x>0，y>0，lgx+lgy=1，可得xy=10.当且仅当2y=5x，即x=2，y=5时等号成立.（2）∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，当且仅当即x=1时，等号成立.第9页版权所有不得复

7、制故f（x）的最大值为－1.（3）令sin2x+1=t，则t∈[1，2]，故任取t1，t2∈［1，2］且t10，∴g（t1）>g（t2），∴g（t）在[1，2]上是减函数，∴f（x）min=，等号成立的条件是sin2x+1=2.∴sinx=±1，故f（x）的最小值是。解题后的思考：利用基本不等式求最值问题的基本方法是借助条件化二元函数为一元函数，代换过程中应注意“元”的范围，同时也要注意“拆项”、“凑项”的技巧，特别要注意等号能否取到。

8、知识点二：基本不等式的应用例4.如图所示，动物园要围成四间面积相同的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。（1）现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的