必修5数学基本不等式和解不等式

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1、基本不等式知识点：1.⑴若a,bwR,则a2+h2>2ab（2）若a,bwR,则ab<^-^-（当且仅当_2a=b时取“二”）2.（1）若a.bgR,则->4ab⑵若a,bgR,则a--b>2^[ab（当且仅当2a=b时取“二”）（3）若a,beR则ab<（当月•仅当a=b时取“=”）3.若兀>0,WJx+->2（当且仅当兀=1时取“二”）X若兀<0,则x+-<-2（当且仅当x=-时取“二”）若xhO,则兀+丄即兀+丄22或兀+-<-2（当且仅当a=b时取“二”）XXX4.若ab>0,则>2（当且仅当a=b时取“二”）若ab",则

2、ba~-+->2即纟+2'2或纟+2§・2(当且仅当a=b吋取“二”)babciba2、5.若a,bwR,贝ij（凹）2/+，（当月.仅当a=h时取“二”）226：重要不等式串：號如佇討呼（牢牢记住）注意：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个止数的和为定植时，AT以求它们的积的放小值，止所谓“积定和故小，和定积放大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较人小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方I衍有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域⑴心昭+圭解题技比技巧一：凑项

3、例已知求函数i亠占的最大值。技巧二：凑系数例：当0<4H寸，求y=x(S-2x)的最大值。解析：由0<4知，8-2x>0,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2兀+(8—2x)=8为定值，故只需将y=%(8一2%)凑上一个系数即可。尹=x(—2x)=g[2x・(8-2x)]<

4、(2x+^2x)2=8当2x=8-2x，即x=2时取等号当X=2时，y=x(8—2x)的最大值为&变式：设0<兀<3,求函数y=4x(3-2%)的最大值。技巧三：分离换元X2+7x+10例：求y—十八十仏>-

5、1)的值域。兀+1解析一：本题看似无法运用均值不等式•不妨将分子配方凄出含有(X+1)的项，再将其分离。=(x+l)+丄+5x+1/+7兀+10_(x+l)2+5(x+l)+4x+1x+14当x>一1,即x+1>0时,y2j(x+l)x+5=9(当旦仅当x=i时取“="号)。Vx+1解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值.(f—l)2+7(—1)+10尸+5(+44=y=-==『+—+5tttI__4当x>一1,即t=x+1>>2Jrx—+5=9(当t=2即x“旳取号).技巧五：整体代换(“1

6、”的应用)多次连用最值定理求放值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。例：已知兀>0,y〉0,且丄+2=1,求兀+y的最小值。兀y(兀+y}>2—2y/xy=1219错解••兀〉0,y>0,S.—i——1/••x+y=x(兀+刃min=12o•・.x+y=(x+y)=^-+—+10>6+10=161>8丿正解:兀>0,y>0,—+——=1,尢yyOr19当且仅当时，上式等号成立，又一+—=1，可得兀=4,y=12时，(x+y).=16。xyxy/m,n技巧七2例：已知从y为正实数，且/+才=1,求刃1+y'的最大值.技巧八：已

7、知白，方为正实数，2方+"+臼=30,求函数y=£的最小值.技巧九、取平方例求函数y=1+>/5-2x(—vxv2)的最大值。22解析:注意到2x-1与5-2x的和为定值。尸=(V2x-1-t-V5-2x)2=44-2^(2%-1)(5-2x)<4+(2x-1)+(5-2x)=8y〉0,所以0vy<2V23当且仅当2x-=5-2x，即x=-时取等号。故ymax=2V2。应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知asb、cgR*f且o+b+c=l。求证：高考连接："A"馆是罗与扌的等比中项，则丄+丄(1)(2009天津•理)设若&b的最小

8、值为1_A8B4C1D4⑵(2007海南、宁夏•理7)己知心0,八°,&久b、丁成等差数列，@+疔x,c、乩尹成等比数列，则加的最小值是()A.°B.1C.2D.4clc—+—+2/ab⑶(2009重庆•文)已知上>0,则。b的最小值是()A.2B.2血C.4D.53•解不等式(1)一元一次不等式(2)—元二次不等式步骤:x>-(a>0)ax>b(a工0)<曽x<-(a<0)a如:a2x+bx+c>0L确定a的符号，判断函数开口方向f(x)=ci1x+bx+c2.求出a3+/zr+c=O两根x^x23.画岀函数f(x)=a2x^-bx

9、+c的图像，根据图像判断a2x+bx+c>0的解集(3)解分式不等式:f(x)44>0of(x).g(x)>0vg(x)f(x)Jf(x)-g(x)<0<0