集合中的新定义题

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1、集合中的新定义题赏析湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉一、新运算问题例1定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x

2、x∈A，或x∈B，且xA∩B}，已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为()(A){1，2，3，4，5，6，7}(B){1，2，3，4}(C){1，2}(D){3，4，5，6，7}　　解法一利用韦恩图，知(A⊙B)⊙B为阴影所示部分，即为{1，2，3，4}，而选(B)．　　解法二直接由新运算分步计算，由新定义，得A⊙B＝{1，2，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B＝{1，2，5，

3、6，7}⊙{3，4，5，6，7}＝{1，2，3，4}，而选(B)．例2设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x

4、x∈M且xP}，则M－(M－P)等于（）(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M分析这是集合新定义题，“M－P”是学生在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的属性来解题．解当M∩P≠时，由韦恩图知，M－P为图形中的阴影部分，则M－(M－P)显然为M∩P．当M∩P＝时，M－P＝M，则M－(M－P)＝M－M＝{x

5、x∈M且xM}＝．综上，应选(B)．二、元素或集合的个数问题例3设P＝

6、{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{(a，b)

7、a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为()(A)3(B)4(C)7(D)12第3页解理解新定义集合P※Q的特征是平面上的点集，横坐标为P集合中元素，而纵坐标为Q集合中元素．则由分类计数原理知P※Q中元素的个数为3×4＝12，选(D)．　　例4设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x

8、x∈M且xP}．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则集合A－B的子集个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4　　解由题意，集合A－B＝{

9、1，7}，因此A－B的子集个数为4，选(D)．三、理想配集问题例5设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若AB＝{1，3}，则称（A、B）为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）()A．4B．8C．9D．16　　解元素1、3既在A中又在B中．考虑元素2，有3种可能：①2∈A，2B；②2A，2∈B；③2A，2B；再考虑4，也有3种可能，故共有9种可能．建立排列组合模型，将“理想配集”用排列组合的语言“翻译”过来，问题便迎刃而解．　　四、元素

10、的和问题例6定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x

11、x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为()(A)9(B)14(C)18(D)21解A*B＝{2，3，4，5}，因此A*B中的所有元素之和为14．故选(B)．例7对集合A＝{1，2，3，…，2001}及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。例如，集合{1，2，4，7，10}的“交替和”为10－7＋4－2＋

12、1＝6，集合{7，10}的“交替和”为10－7＝3，{5}的“交替和”为5，等等，试求A的所有子集的“交替和”的总和．解：集合A＝{1，2，3，…，2001}的子集中，除了集合{2001}，还有22001－2个非空子集．将其分为两类，第一类是含2001的子集，第二类是不含2001的子集，而且这两类各自所含子集的全体相互构成一一映射，从而这两类所含子集的个数相同．因为若Ai是第二类的，则必有Ai∪{2001}是第一类的集合；如果Bi是第一类的集合，则Bi中除2001外，还应用1，2，3，…，2000中的做其元素，即

13、Bi中除2001外是非空的，而是第二类的集合；令Ai与Ai∪{2001}对应，则这种“成对的”的集合的“交替和”都为2001，从而可得A的所有子集的“交替和”的总和为(22001－2)×2001＋2001＝22000×2001．第3页五、集合的分拆问题例8若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是（）A.27B.26C.9D.8【解】集合A的子集为共8个

14、，集合A的一个分拆可以列表如下：A1A2A1A2，，，，，，，，，共有27个，选A.六、集合长度问题例9设数集M＝{x

15、m≤x≤m＋}，N＝{x

16、n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x

17、0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x

18、a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()(A)(B)(C)(D)解由题意，知集合M的“长度”是，集合N的“长度”是，由集合