集合中的新定义题

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1、集合中的新定义题赏析湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉一、新运算问题例1定义集合A与B的运算:A⊙B={x

2、x∈A,或x∈B,且xA∩B},已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},则(A⊙B)⊙B为()(A){1,2,3,4,5,6,7}(B){1,2,3,4}(C){1,2}(D){3,4,5,6,7}  解法一利用韦恩图,知(A⊙B)⊙B为阴影所示部分,即为{1,2,3,4},而选(B).  解法二直接由新运算分步计算,由新定义,得A⊙B={1,2,5,6,7},则(A⊙B)⊙B={1,2,5,

3、6,7}⊙{3,4,5,6,7}={1,2,3,4},而选(B).例2设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x

4、x∈M且xP},则M-(M-P)等于()(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M分析这是集合新定义题,“M-P”是学生在中学不曾学过的一种集合运算,应紧扣集合中元素的属性来解题.解当M∩P≠时,由韦恩图知,M-P为图形中的阴影部分,则M-(M-P)显然为M∩P.当M∩P=时,M-P=M,则M-(M-P)=M-M={x

5、x∈M且xM}=.综上,应选(B).二、元素或集合的个数问题例3设P=

6、{3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)

7、a∈P,b∈Q},则P※Q中元素的个数为()(A)3(B)4(C)7(D)12第3页解理解新定义集合P※Q的特征是平面上的点集,横坐标为P集合中元素,而纵坐标为Q集合中元素.则由分类计数原理知P※Q中元素的个数为3×4=12,选(D).  例4设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x

8、x∈M且xP}.已知A={1,3,5,7},B={2,3,5},则集合A-B的子集个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4  解由题意,集合A-B={

9、1,7},因此A-B的子集个数为4,选(D).三、理想配集问题例5设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若AB={1,3},则称(A、B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A、B)与(B、A)是两个不同的“理想配集”)()A.4B.8C.9D.16  解元素1、3既在A中又在B中.考虑元素2,有3种可能:①2∈A,2B;②2A,2∈B;③2A,2B;再考虑4,也有3种可能,故共有9种可能.建立排列组合模型,将“理想配集”用排列组合的语言“翻译”过来,问题便迎刃而解.  四、元素

10、的和问题例6定义集合A,B的一种运算:A*B={x

11、x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为()(A)9(B)14(C)18(D)21解A*B={2,3,4,5},因此A*B中的所有元素之和为14.故选(B).例7对集合A={1,2,3,…,2001}及每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大的数开始,交替的减或加后继的数所得的结果。例如,集合{1,2,4,7,10}的“交替和”为10-7+4-2+

12、1=6,集合{7,10}的“交替和”为10-7=3,{5}的“交替和”为5,等等,试求A的所有子集的“交替和”的总和.解:集合A={1,2,3,…,2001}的子集中,除了集合{2001},还有22001-2个非空子集.将其分为两类,第一类是含2001的子集,第二类是不含2001的子集,而且这两类各自所含子集的全体相互构成一一映射,从而这两类所含子集的个数相同.因为若Ai是第二类的,则必有Ai∪{2001}是第一类的集合;如果Bi是第一类的集合,则Bi中除2001外,还应用1,2,3,…,2000中的做其元素,即

13、Bi中除2001外是非空的,而是第二类的集合;令Ai与Ai∪{2001}对应,则这种“成对的”的集合的“交替和”都为2001,从而可得A的所有子集的“交替和”的总和为(22001-2)×2001+2001=22000×2001.第3页五、集合的分拆问题例8若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是()A.27B.26C.9D.8【解】集合A的子集为共8个

14、,集合A的一个分拆可以列表如下:A1A2A1A2,,,,,,,,,共有27个,选A.六、集合长度问题例9设数集M={x

15、m≤x≤m+},N={x

16、n-≤x≤n},且M、N都是集合{x

17、0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x

18、a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()(A)(B)(C)(D)解由题意,知集合M的“长度”是,集合N的“长度”是,由集合

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