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《矩阵秩的一些著名结论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1.证明:设为两个同阶矩阵,则有r(A﹢B)≤r(A)﹢r(B)证设=,,…,,=则+=+,+,…,+不妨设列向量的极大线性无关组为,,…,.(1rn)；列向量的极大线性无关组为，，….(1sn).则++…+;=++…+;则+=++…
2、++++…+;即+的列向量可由,,…,，，，…线性表出，故.2.若=,则.证记，由=，知的每一列都是解,即,=1,2,…,又因的基础解系所含向量个数为,换言之,的所有解所构成的向量组的秩为.故,即.53.若，证明+=n.证,,=,由结论2知r+r;再由结论1知，+,综上所述,+=n.4若证明：+.证,由结论2知+.又因知，即+.综上所述，+.5.矩阵,,证明：+-.证设=,=,=则存在可逆矩阵,使=.及=.故===.则===.因==则中还有个线性无关行向量,故5则,即+-.6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为：=证若=时,即可逆,因，则有,故.若时,,=,由结论2知+，即=1.也就是=
3、0,或=.假设=0,则的所有阶子式为0,这与=矛盾.故=.若当<时，则的所有阶子式全为0，则,即=0.故上述结论=成立。7.（秩的降阶定理）设,⑴若是阶可逆矩阵，则.⑵若是阶可逆矩阵，则⑶若都可逆，则.证⑴若是阶可逆矩阵，则存在.对矩阵两边做初等变换,即有5.初等变换不改变矩阵的秩,故.⑵若可逆,则存在,对两边做初等变换,.初等变换不改变矩阵的秩,故.⑶若都可逆,则根据⑴,⑵的结论有:，整理可得，.5参考文献【1】张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.【2】王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.【3】徐仲,陆全等.高等代数(北大.
4、第三版)导教导学导考.西安:西安工业大学出版社,2006.5
