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1、矩阵的秩的一些结论的证明摘要:矩阵是高等代数中主要的一个研究对象,它贯穿着整个高等代数的内容,而矩阵的秩作为矩阵最主要的特征,研究它的结论和性质就变得尤其重要.本文主要从矩阵的秩的结论和矩阵的秩的应用两方面介绍了矩阵的秩,并对矩阵的秩的大量性质进行了研究、证明及应用.其中包括矩阵的秩的求解和矩阵的秩的一些不等式,而且还涉及到了矩阵的秩在求解方程组和向量相关问题上的应用.关键词：矩阵的秩；矩阵的秩的定义；矩阵的秩的结论；矩阵的秩的应用-24-TheConclusionoftheMatrixrank’sproofAbstra
2、ctMatrixisanobjectinthe AdvancedAlgebratobestudied,whichrunsthrough thewholecontentofthe AdvancedAlgebra,however,the rankofmatrix as itsmaincharacteristics.Theconclusionsand thenature’sstudybecomesuchanimportantpart.Thepaperisdividedintotwopartstointroducethematr
3、ix,whicharetheconclusionsandtheapplicationoftherank.Atthesametime,thenatureoftherankhasbeenstudied,provedandusedinthepaper.Amongtheapplications, including thesolution totherankand someinequality,thepaperalsoincludes theapplicationofrankaboutsolvingtheequationsand
4、questionsofthevectorcorrelation.Keywords:therankofthematrix;the definition of therank; theconclusionof therank; theapplicationsoftherank.-24-目录引言-1-1.矩阵的秩的两种定义-2-2.引理-2-3.矩阵的秩的一些结论及其证明-4-3.1命题1-4-3.2命题2-5-3.3命题3-6-3.4命题4-6-3.5命题5-7-3.6命题6-8-3.7命题7-9-3.8命题8-9-3.9命
5、题9-10-3.10命题10（Frobenius不等式）-10-3.11命题11-11-3.12命题12-12-3.13命题13-12-3.14命题14-13-3.15命题15-14-3.16命题16-14-3.17命题17-15-3.18命题18-16-4.矩阵的秩的一些结论的应用-17-总结-22-致谢-23-参考文献-24--24-引言矩阵的秩是高等数学中一个极其重要并广泛应用的概念,是高等代数的一个重要研究对象.因此,矩阵的秩的结论作为高等代数的一个重要工具已经渗透到各章节内容之中,它把高等代数的内容紧紧联系在一
6、起,矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性则贯穿矩阵理论的始终.所以对于矩阵的秩的研究不仅能够帮助我们更好的学习矩阵,而且他是我们学习好高等代数各章节的有力保障.矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的矩阵的秩,记为或矩阵的秩.从定义上看,一个矩阵的秩,就是一个数.事实上,若将矩阵的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等与矩阵的秩.若,则称为行满秩的矩阵；若,则称为列满秩矩阵.阶方阵的秩等于时称为满秩矩阵或可逆矩阵.-24-1.矩阵的秩的两种定义矩阵的秩是
7、反映矩阵固有特性的一个重要概念,秩是矩阵的一个非常重要的数值特征,是由F.G.Frobenius(1877)提出的.定义1设是任意矩阵.若则说的秩为；若则的非零子式的最高阶数就称为的秩,记为秩.定义2设在矩阵中有一个不等于的阶子式,则所有阶子式（如果存在的话）全等于,那么称为矩阵的最高阶非零子式,数称为矩阵的秩,记作.并规定零矩阵的秩等于.2.引理2.1引理1、分别为和矩阵,则恒成立.证明：设存在可逆矩阵,,,使得,其中、分别是由个和个线性无关的单位向量组成,且与是线性无关的向量组,所以,因此得出.引理1中通过分块矩阵构
8、建了秩与两个模块矩阵秩的和相等的矩阵,可以直观方便的通过分块矩阵运算来实现某些性质的证明,有效的简化了证明路径,为以下命题的证明即提供了一种方法,又提供了相应的结论.-24-2.2引理2、分别为和矩阵,则成立.证明：由引理1得,因为,所以.且当时,.如上证明对引理1做了补充和扩展,对于便于分块的矩阵的秩的确定提供了方
