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1、几类与矩阵的秩有关的问题研究Studyonseveralissueinrelationtorankofmatrix业:***作者：***指导老师：***学院二o——年摘要本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题，包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题，同时利用其和关性质和结论解决了硕士研究生考试屮的一些问题.关键词：矩阵的秩；向量组线性相关性；线性方程组；二次型.AbstractThispapermainlystudysomeproblemconnectedwithranko
2、fmatrixsuchaslinearrelativityofvectorset>linearequationset>arithmeticofrankofmatrixandquadraticform,inthemeantime,anumberofquestionderivedfromPostgraduateExaminationareanswered・Keywords：rankofmatrix;linearrelativityofvectorset;linearequationset;quadra
3、ticform.目录摘要IABSTRACTII0引言11向量组线性相关性12线性方程组33矩阵的秩有关运算63.1加法63.2减法63.3乘法74二次型85结束语15参考文献160引言高等代数课程是本专业基础课，线性代数占有很大比重，矩阵作为线性代数的重要工具，把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终,其有关理论是高等代数课程中极重要的内容，在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都冇着广泛的应用.木文就几类与矩
4、阵的秩有关的问题进行研究，加深对矩阵木身及其相关知识的理解，更好的掌握这门基础课程.定义矩阵Aw/r杯的行向量组或列向量组的秩称为矩阵A的秩，记为厂（幻・求炬阵的秩主要如下有三种方法：（1）找出矩阵中非零子式的最高阶数，该阶数即为矩阵的秩；（2）标准形法，求出矩阵的标准形，主对角线上1的个数即为矩阵的秩；（3）初等变换法，对矩阵实施初等行变换，将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.在这三种方法屮，第三种方法相对另外两种方法更为简便.1向量组线性相关性设q=（4],耳2，・・・,q$）
5、,7=l,2,・・・，n.定义1.1向量组es，…，勺线性相关o存在不全为零的数匕也,・・匕，使+…k“a”（1•1）向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数，若向量组所含向量个数与其秩相等，则该向量组线性无关；若所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法.因矩阵的秩等于矩阵的列（行）秩，列（行）秩即为列（行）向量组的秩，向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.设矩阵4二（卬卫2,…,匕），则向量组es，・・・4”线性相关O齐次线性方程组
6、AX=O有非零解o心）—・（令X=（xI,x2,---,x„y,则由（1・1）可得出）；同理可得出向量组⑷，◎•••，£线性无关O齐次线性方程组4X=0只有零解or（A）=n.若向量组也,…,％线性无关，那么在每个向量上添加厂分量所得到的$+厂维的向量组勺=(©],•••,仏，•••，©,$+,),21,2,…/也线性无关.因0即nln厲內+。2內+•••%£=0(1.2)4$兀1+如兀2+・・・色,“=°°】1尤1+。21无2宀anlXn=°anx{+a22x2+•…all2xfJ=0只冇零解，
7、故卩内+仏心+•••%"=°%$+/+。2,$+丿2+…％$+凡二°也只有零解，因此向量组b血,…h线性无关.定理：设即勺，…％与01，02,…0$两个向量组，若向量组即如…①可由01，02,…0$线性表示，且/•>£,贝IJ向量组％勺，…①必线性相关.推论一：任意加个“维向量组。［卫2,…,（m>〃）线性相关.因每个〃维向量都可以被况维单位向量组2、…心线性表示，又m>n,由定理可知其线性相关.推论二：向量组（I）可由向量组（II）线性表示，那么（I）的秩不超过（II）的秩.因向量组（I）的极大
8、线性无关组即色，…©也可由向量组（H）的极大线性无关组肉,02,…0$线性表示,由定理可推出即向量组（I）的秩不超过（II）的秩.推论三：等价的向量组有相同的秩.由推论二可轻易推出・例1.已知向量少二（i,o,iy,也=（0，1，1）‘，巾=（1，3,5）‘不能rti向量组0严（1,d,iy,02=（123）',03=（1,3,5）'线性表示,求a并将01,02,03由es®线性表出・解：由推论一知向量组0
9、,02，03，0线性相关,故存在不全为零的常数皿=1,・・・,4)使冏0]
