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1、几类与矩阵的秩有关的问题研究Studyonseveralissueinrelationtorankofmatrix专业:***作者:***指导老师:***学院二○一一年摘要本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题,包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题,同时利用其相关性质和结论解决了硕士研究生考试中的一些问题.关键词:矩阵的秩;向量组线性相关性;线性方程组;二次型.IIAbstractThispapermainlystudysomeproblemconnectedwithrankofmatrixsuchaslinearrelativityofvectors
2、et、linearequationset、arithmeticofrankofmatrixandquadraticform.inthemeantime,anumberofquestionderivedfromPostgraduateExaminationareanswered.Keywords:rankofmatrix;linearrelativityofvectorset;linearequationset;quadraticform.II目录摘要IABSTRACTII0引言11向量组线性相关性12线性方程组33矩阵的秩有关运算63.1加法63.2减法63.3乘法74二次型8
3、5结束语15参考文献160引言高等代数课程是本专业基础课,线性代数占有很大比重,矩阵作为线性代数的重要工具,把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终,其有关理论是高等代数课程中极重要的内容,在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用.本文就几类与矩阵的秩有关的问题进行研究,加深对矩阵本身及其相关知识的理解,更好的掌握这门基础课程.定义矩阵的行向量组或列向量组的秩称为矩阵的秩,记为.求矩阵的秩主要如下有三种方法:(1)找出矩阵中非零子式的最高阶数,该阶数即为矩阵的秩;(2)标准形法
4、,求出矩阵的标准形,主对角线上1的个数即为矩阵的秩;(3)初等变换法,对矩阵实施初等行变换,将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.在这三种方法中,第三种方法相对另外两种方法更为简便.1向量组线性相关性设.定义1.1向量组线性相关存在不全为零的数,使=0.(1.1)向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数,若向量组所含向量个数与其秩相等,则该向量组线性无关;若所含向量个数大于秩,则该向量组线性相关,用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法.因矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩,列(行)秩即为列(行)向量组的秩,向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.
5、设矩阵=(),则向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.(令=,则由(1.1)可得出);同理可得出第16页,共16页向量组线性无关齐次线性方程组只有零解.若向量组线性无关,那么在每个向量上添加分量所得到的维的向量组,也线性无关.因即(1.2)只有零解,故也只有零解,因此向量组线性无关.定理:设与两个向量组,若向量组可由线性表示,且,则向量组必线性相关.推论一:任意个维向量组()线性相关.因每个维向量都可以被维单位向量组线性表示,又,由定理可知其线性相关.推论二:向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示,那么(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩.因向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也可由向量组(Ⅱ)的
6、极大线性无关组线性表示,由定理可推出,即向量组(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩.推论三:等价的向量组有相同的秩.由推论二可轻易推出.例1.已知向量=,,不能由向量组,,线性表示,求并将由线性表出.解:由推论一知向量组线性相关,故存在不全为零的常数(第16页,共16页)使,则(否则可由线性表示,与已知矛盾).故线性相关,因此===0,所以.因为()=,故,显然,.例2.设向量组与向量组等价,且线性无关.(1)说明不一定线性无关;(2)找出线性无关的充要条件,并证明之.解:(1)由题意知向量组与等价,但显然线性相关.(2)线性无关的充要条件是,下面来证明:必要性.因向量组的秩为,的秩为,
7、由推论三知.充分性.根据推论三知向量组的秩为,又,故线性无关.关于向量组线性相关性的问题,可转化为线性方程组的有关问题,可根据下面的相关内容来解答.2线性方程组线性方程组问题是高等代数课程中极其重要的内容,其常见的问题是方程组是否有解、有解的判定和解的个数以及如何求解.在高等代数课程中,有一些简单的性质:齐次线性方程组的系数矩阵的行秩小于未知量个数,则它有非零解;若其系数矩阵为矩阵,则其有非零解的充要条件是=0;在非齐次线性方程组中,若为矩阵,则有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的
