几类与矩阵的秩有关的问题毕业论文

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1、分类号:029编号：2013010112毕业论文题目儿类与矩阵的秩有关的问题学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名班级09级一班学号291010112研究类型基础研究指导教师提交日期2013.05.18原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人己经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中己经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担论文作者签名：年月日论文指导教师签名：几类

2、与矩阵的秩有关的问题摘要：本文研宄了与矩阵的秩有关的几类问题，通过实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系；解线性方程组；判断空间中点线面的位置关系;线性变换等方面的应用.关键词：矩阵的秩；向量；线性方程组；位置关系;线性变换AFewClassAssociatedwithTheRankofMatrix(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,TianshuiGansu,741000,China)Abstract:Inthispaper,Wes

3、tudyseveraltypesofissueswithrespecttotherankofmatrix.Wedeterminedtherelationshipbetweenrectorandtherankofthematrixinlinear.Keywords:Rankofmatrix;Vector;Linearequations;Setrelations;Quadratic;Lineartransformationand目录1弓I言12主要结果及证明11矩阵的秩与向量的线性关系11.1线性相关性的判断11.

4、2极大线性无关组22矩阵的秩与线性方程组的求解32.1齐次线性方程组的求解32.2非其次线性方程组的求解43矩阵的秩与空间中的点线面位置关系63.1相关定理63.2定理的应用84矩阵的秩与线性变换94.1矩阵的秩与核的计算94.2矩阵的秩与值域的计算10辨嫌12至文i射131引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一，在数学及其它科学领域中冇着广泛的应用.在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量.本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系；线性方程组的求解；空间中点面位置关系；

5、线性变换等问题的密切的联系.定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩.另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义.矩阵的秩的几个简单性质性质1秩(A)=0,当且仅当A是零矩阵.性质2秩(A)=/i，当且仅当

6、A卜0.性质3设A是mx77矩阵，则秩(A)Smin(zw,n).性质4秩(A+5)S秩A+秩5.性质5rA0BCBA0^=r(A)+r(5)

7、.性质6设A，S分別为打xm与mxs矩阵，则秩(AB)幺min(秩A，秩fi，n，m，s2主要结果及证明1矩阵的秩与向量的线性关系高等代数屮，判断向量组的线性相关性时，我们的依据是向量组屮的其屮一个向量是否可以由其余的向量线性表出来.这种做法简单易懂，但对一些较为复杂的这类问题吋解法复杂，上述方法有一定的局限性.我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题.首先，有以下的结论.1.1线性相关性的判断定理1.1设6^為，-WP"，令A=，…，％)，其中A是Z7X5•矩阵，％为W维列向巧，％，…，％线性相关<=>A

8、x=0有非零解秩A

9、BpO.先证明必要性设秩A=/1，所以

10、A

11、#0.令k^Aa})+k2(Aa2)+•••+kn(Aatl)=0(1.1.1)用A_1左乘(1.1.1)式得々a十女必十…/:八=0.戶斤以&=二…么=0.即Aal9Aa29…，A%线性无关.再证明充分性因为A汉,，/!%，…

12、，/!%线性无关，所以Aa},Aa2,--yAan=AB矣0,从而

13、A

14、关0,即秩A=n.1.2极大线性无关组定理1.2(1)(I)w2，…，汉,。，若在⑴屮存在/•个线性无关的向量汉7為，…為，且Vfe⑴都可以由岣戎，…,久线性表出，则称％為，…爲是⑴的一个极大线性无关组，且称秩(I)=r•(2)两个等价的的向量具有相同的秩.(3)若(A，A，…，凡)=咏為，…，AM，•其中