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1、分类号:O29编号:2013010112毕业论文题目几类与矩阵的秩有关的问题学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名班级09级一班学号291010112研究类型基础研究指导教师提交日期2013.05.18原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签
2、名：年月日几类与矩阵的秩有关的问题摘要：本文研究了与矩阵的秩有关的几类问题,通过实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系;解线性方程组;判断空间中点线面的位置关系;线性变换等方面的应用.关键词:矩阵的秩;向量;线性方程组;位置关系;线性变换AFewClassAssociatedwithTheRankofMatrix(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,TianshuiGansu,741000,China) Abstract:Inth
3、ispaper,Westudyseveraltypesofissueswithrespecttotherankofmatrix.Wedeterminedtherelationshipbetweenrectorandtherankofthematrixinlinear.Keywords:Rankofmatrix;Vector;Linearequations;Setrelations;Quadratic;Lineartransformationand目录1引言12主要结果及证明11矩阵的秩与向量的线性关系11
4、.1线性相关性的判断11.2极大线性无关组22矩阵的秩与线性方程组的求解32.1齐次线性方程组的求解32.2非其次线性方程组的求解43矩阵的秩与空间中的点线面位置关系63.1相关定理63.2定理的应用84矩阵的秩与线性变换94.1矩阵的秩与核的计算94.2矩阵的秩与值域的计算10参考文献12致谢13数学与统计学院2013届毕业论文1引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.本文归纳了
5、矩阵的秩与向量的线性关系;线性方程组的求解;空间中点面位置关系;线性变换等问题的密切的联系.定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义.矩阵的秩的几个简单性质性质1秩,当且仅当是零矩阵.性质2秩,当且仅当.性质3设是矩阵,则秩.性质4.性质5.性质6设,分别为与矩阵,则秩min(秩,秩,,,).2主要
6、结果及证明1矩阵的秩与向量的线性关系高等代数中,判断向量组的线性相关性时,我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来.这种做法简单易懂,但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂,上述方法有一定的局限性.我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题.首先,有以下的结论.1.1线性相关性的判断定理1.1设令=,其中是矩阵,为维列向量,且则13数学与统计学院2013届毕业论文线性相关有非零解.线性无关只有零解.例1.1设为阶方阵,为个线性无关的维向量,证明:秩=的充要条件是,,,线性无关.证明令
7、=,那么0.先证明必要性设秩=,所以0.令=0（1.1.1）用左乘（1.1.1）式得=0.所以.即,,,线性无关.再证明充分性因为,,,线性无关,所以=0,从而0,即秩=.1.2极大线性无关组定理1.2（1）:,若在中存在个线性无关的向量,且都可以由线性表出,则称是的一个极大线性无关组,且称秩=.（2）两个等价的的向量具有相同的秩.（3）若=,其中是矩阵,若线性无关,则秩=秩.例1.2设有向量组（Ⅰ）=,=,=,（Ⅱ）=,=,=.13数学与统计学院2013届毕业论文试问:当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）
8、等价?当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？解作初等行变换,有=(1)当a时,有行列式=0,秩=3,故线性方程组=均有惟一解.所以可由向量组（Ⅰ）线性表示.行列式=60,秩=3,故可由向量组（Ⅱ）线性表示.因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.(2)当a=时,有由于秩秩,线性方程组=无解,故向量不能由线性表示.因此,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.2矩阵的秩与线性方程组的求解线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题,在解决和讨论线
