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1、高等代数选讲论文题目矩阵秩的相关问题学院数学与统计学院姓名***指导老师***学号***********班级*****************109一、相关基础理论1矩阵的秩的相关概念1.1矩阵秩的定义在一个行列的矩阵中，任取行列.位于这些行列交点处的元素所构成的阶行列式成为这个矩阵的阶子式.一个矩阵中不为零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零.初等变换不改变矩阵的秩.矩阵秩的等价定义：矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩.向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.1.2矩阵秩的有
2、关性质设矩阵和分别是和阶矩阵，，为矩阵，则，若，.,.设为矩阵，，则的任意行组成的矩阵，有.设，则；，则.设矩阵和分别是和阶矩阵，则.，当时；，当时.其中是的伴随矩阵.若与同解，则.，其中为的矩阵，为的转置.,,是阶方阵.，，这里和分别是和矩阵..若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则.1092多项式根的相关定义多项式函数定义:设，数，将的表达式中的用代替得到的数称为当的值，这样由定义了数域上的函数.多项式的根：若时的值，那么叫做在中的一个根.3线性方程组的相关知识3.1一般形式如下：简记为，其中，，记为的转置.称为系数矩阵，称为增广矩阵.若，则称该
3、线性方程组为齐次线方程组，否则为非齐次线性方程组.3.1齐次线性方程组有关理论定理1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小.定理2(线性方程组有解判别定理)线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.定义1齐次线性方程组的一组解称为的一个基础解系,如果1)的任意一个解都能够表示成,,,的线性组合的形式.2),,线性无关.定理3齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于,这里是齐次线性方程组中未知量的个数,表系数矩阵的秩,就是自由未知量的个数.二、矩阵秩的相关问题1、矩阵的秩与多项
4、式的等价命题109定理设复数域上的次多项式的个根分别为那么下面的五个命题相互等价令.则如下构造的级方阵的秩为其中有一个多项式，使得为一次多项式阶方阵的秩为其中.证明由矩阵的构造知;于是,秩秩秩从而,可令这样.由得.用去除得.取则有.由得于是而为次多项式,所以,为一次多项式.因,设,则与有完全相同的不可约因式.由于只有一次因式,的次数为,所以有109个相同的因式,一即有个相同的根,于是可令这样.有此得,秩,因初等变换不改变行列式的秩,所以秩.令秩而且秩故秩2利用线性方程组证明矩阵的秩的有关问题2.1利用线性方程组有解的充分必要条件例1设均为阶方阵,为
5、解列向量,证明若则证构造线性方程组，因为所以有解，设为其一解.另设，，则：于是即可由线性表示，从而例2设为阶可逆反对称矩阵，为元列向量，求证其中.证因为所以设有解，即，，于是.又则即于是即有解，故2.2利用齐次线性方程组基础解系中向量的个数与系数矩阵的秩的关系设为矩阵，齐次线性方程组永远有解，若，则的基础解系，即解空间的基含有个解向量.109命题1设为矩阵，为矩阵，若，则证因为，所以的个列向量都是齐次线性方程组的解向量，则AX=0的基础解系中恰有个解向量，所以，故例3设,均为阶方阵，存在阶非零矩阵使得，其中证明：存在阶非零矩阵，使得.证因为，所以由
6、命题1知，因而，同理，对线性方程组，由知，有非零解，令其中为维列向量，则，且.2.3利用线性方程组同解与系数矩阵的秩之间的关系有许多秩的问题，可以通过构造两个甚至多个线性方程组，先证明它们同解，然后得出矩阵的秩之间的关系.命题2设和分别为和矩阵，则：(1)若的解都是的解，则；(2)若与同解，则.证（1）因为的解都是的解，所以的解空间包含于的解空间，从而解空间的维数，即，故.（2）矩阵的秩的相关性质的第条.例4设为阶方阵，证明：….证先证与同解.显然的解必为的解，下证的解必为的解.109假设为的解，则，否则，考虑向量组：，，,…,令,则得，由得同样可
7、证，.，，,…,,线性无关，矛盾.由于与同解，故由命题2知，同理可证,…，故例5设A为实矩阵，证明.证构造齐次线性方程组，于是;反之由可得，即，因为为实矩阵，为实维列向量，所以.即方程组与同解，故由命题2知r(A′A)=r(A).从而.3矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件矩阵的秩和矩阵的非零特征值个数都是矩阵相似意义下的不变量，也就是说矩阵的相似初等变换不改变和的值；对于实对称矩阵来说和也是合同意义下的不变量，即是说矩阵的合同变换不改变实对称矩阵的秩和它的非零特征值个数，因此和是方阵的基本特征指标．满足条件＝的矩阵在数理统计、试验设计、多元统计分
8、析、金融计量统计、经济统计分析等各种应用统计分析中都有其应用背景，因此讨论和研究矩阵的秩与其非零特征值个数相等的条件具有一
