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1、浅谈矩阵的秩目录摘要Abstract前言11•矩阵的秩的概念12•秩的求法??2.1子式判别法22.2初等变换法23.矩阵的秩的应用23.1方程组与矩阵的秩23.1.1判断齐次线性方程组有非零解?？233.1.2判断非齐次线性方程组的解33.1.3线性方程组有解33.2矩阵运算与矩阵的秩4321力U法43.2.2乘法43.3可逆矩阵与矩阵的秩4结束语5参考文献5摘耍：矩阵的秩，是矩阵最重耍的数字特征Z-o矩阵的很多性质可以通过矩阵的秩来刻画。基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质，求法及其应用。关键词：矩阵的秩；线性方程组；初等变换，可逆矩阵Matrix
2、rankAbstract:Matrixrank,itisoneofthemostimportantcharacteristicsofdigitalmatrix.Manypropertiesofmatrixrankofthematrixtodepict.Basedonthematrixrankinhigheralgebra,theimportanceofsysteminthispapersummarizesthebasicpropertiesoftherankofmatrix,thecalculationmethodsandtheirapplications.Keywords:matr
3、ixrank;Systemoflinearequations;Elementarytransformation,reversiblematrix..、八—1_-刖s矩阵是数学中的一个重要的基本概念，也是应用数学研究的一个重要工具。矩阵的理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。1•矩阵的秩的概念一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于
4、矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩，记作R(A)例如，矩阵?1?OA=??O??O的行向量组是131?2-14??005??000??1=(14,3,1)?2=(0,2,-1,4)?3=(0,0,0,5)?4=(0,0,0,0)可以证明，？1,?2,?3,是向量组?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，事实上，由kl?l?k2?2?k3?3=0可得kl?k2?k3?0,这就证明了？1,?2,?3线性无关。因为?4是零向量，所以添上?4后就线性相关了。因而向量组的秩为3,即向量组的行秩为3。A的列向量组是?1=(l,0A0),?2=(^2,0,0),?3=(3,-1,0,0),?4=(1
5、,4,5,0)1同样的方法证明？1，?2,?4线性无关，且是列向量组的一个极大线性无关组。于是列向量组?1,?2,?3,?4的秩为3。2.秩的求法?1?2.1子式判别法(根据定义)一般地，行阶梯形矩阵的秩等于英“台阶数”。2.2初等变换法用初等变换法求矩阵的秩。根据定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。1、利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B。2、阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例：求向量组?1,?2,?3,?4的秩？2■解：设对矩阵A作初等变换，可得所以？1,?2,?3,?4的秩为3。1•矩阵的秩的应用在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变
6、换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。3.1方程组与矩阵的秩3.1.1判断齐次线性方程组有非零解?？3齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的行列式为零，矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于no23.1.2判断非齐次线性方程组的解?allxl?al2x2??alnxn?bl?a21xl?a22x2??a2nxn?b2?????????anlxl?an2x2??annxn?bn非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为n；非齐次线性方程有无穷解时，R(A)小于n。3.1.3线性方程组有解线性方程组有解的充分必耍
7、条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解。增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解。齐次线性方程组有非零解的情况下，基础解系所含解的个数等于n—卩为系数矩阵的秩。线性方程组的秩与解析几何中关于平面与直线的关系：对于线性方程组?allxl?al2x2?al3x3?blaikbkjaikbk?a21xl?a22x2?a23x3?b2?■每个方程表示一个平面。方程组有解相当于两平面有交点。方程的系数矩阵与增广矩阵分别
