矩阵的秩 学年论文

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1、学号：20095034022学年论文（本科）学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2009级姓名张晓函论文题目矩阵的秩指导教师彭玉成职称讲师成绩2009年5月25日学年论文成绩评定表评语成绩：指导教师(签名):200年月日学院意见：学院院长(签名):200年月日目录摘要……………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………………1Keywords…………………………………………………………………………1引言…………………………………

2、……………………………………………11预备知识………………………………………………………………………12矩阵的秩的性质……………………………………………………………23矩阵秩的计算……………………………………………………44矩阵秩的应用…………………………………………………………85结束语…………………………………………………………………………9参考文献…………………………………………………………………………97矩阵的秩学生姓名：张晓函学号：20095034048数学与信息科学学院信息与计算科学系指导教师：彭玉成职称：讲师摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳

3、总结了求矩阵秩的常用方法.关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组MatrixrankAbstract:Thisarticleisaboutforadigitalmatrixrankofthepreliminaryinquirymethod.SummarizesthecommonlyusedmethodofmatrixrankKeywords:matrix,elementarytransformation,son,greatlinearlyindependentgroups前言矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方

4、程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.1．预备知识定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.定义1.3：在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成级行列式，称为的一个级子式.定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.2.矩阵的秩的性质1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。性质2.1矩阵的行秩与列秩相等．7证设所讨论的矩阵为，而的行秩，列秩．为了证明，我们先来证明．以代

5、表矩阵行向量组，无妨设是它的一个极大线性无关组．因为是线性无关的，所以方程只有零解，也就是说，齐次线性方程组只有零解．则这个方程组的系数矩阵的行秩．因之在它的行向量中可以找到个线性无关的，譬如说，向量组，，…，线性无关．那么在这些向量上添加几个分量后所得的向量组，，…，也线性无关．它们正好是矩阵的个列向量，有它们线性无关性可知矩阵的列秩至少是，也就是说．用同样的方法可证．这样，我们就证明了行秩与列秩相等．性质2.2初等行（列）变换不改变矩阵的秩证矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组，而我们知道，等价的向量组都有相同的秩．因此，初等变换不改变举证的秩．同样的，初等

6、列变换也不改变举证的秩．7定理2.1一矩阵的秩是的充分必要条件是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零．3.矩阵的秩的计算3.1方法一初等变换分析：由性质2可知，矩阵经初等变换后，其秩不变．因此，可用初等变换求矩阵的秩．用初等变换求矩阵的秩，级可一用初等行变换，也可用初等列变换，也可交替进行把替个矩阵化为阶梯行矩阵．由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（列）数的个数，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（列）数就是矩阵的秩．3.1.1已知，求．解：对矩阵进行初等行变换化阶梯形因为非零行的个数为3，故．注：此方法使用方便，不需要计算行列是，也不需要考察向量组的相关性，因此，是求秩最常用

7、的方法．3.2方法二：计算子式法分析：由定义1，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数．根据这一定义，要求矩阵的秩，需计算行列式的各阶子式．从阶数最高的子式开始，一直找到不等于零的子是中阶数最大色一个子式．则这个子式的阶数就是矩阵的秩．3.2.1设7，求．解：因为只有4行，所以的每4阶子式都取遍的4行；又因为有5列，所以每次取出4列按原来的顺序组成的4阶子是共有个，它们是所以的所有4阶子式都等于零，在考虑的3阶子式，有一个3阶子式所以由定理1可知，．3.3方法三：综合法综合使用初等变换和