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1、学号密级______________本科毕业论文矩阵秩的相关问题的探讨学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：指导教师：二○一二年五月BACHELOR'SDEGREETHESISOFXXXXXUNIVERSITYMatrixrankoftherelatedquestiondiscussionCollege:SchoolofMathematicsSubject:MathematicsandAppliedMathematicsName:Directedby:May2012郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的
2、成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名：日期：摘要本文介绍了矩阵的秩的基本知识，探讨了矩阵的秩在向量的线性关系，求解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，二次性，线性变换等方面的应用。关键词:矩阵的秩;向量;线性方程组;位置关系;二次型;线性变换IIAbstractThisarticleintroducesthebasicknowledgeo
3、ftherankofmatrix,discussesthematrixrankinthevectorofthelinearrelationship,solvinglinearequations,judgethehalfwaypointlinearspacelineposition,secondarysex,lineartransformationofapplication.Keywords:Therankofmatrix;Vector;Linearequations;Thepositionrelations;Quadratic;Lineartran
4、sformationII目录摘要IABSTRACTII第一章矩阵的秩11矩阵的秩的定义及简单的公式1第二章矩阵的秩的相关问题12矩阵的秩与向量的线性关系13矩阵的秩与线性方程组的求解34矩阵的秩与空间中的点线面位置关系65矩阵的秩与二次型106矩阵的秩与线性变换12参考文献16第一章矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系;线性方程组的求解;空间中点面位置关系;二次型理;线性变换等问题的
5、密切的联系.1矩阵的秩的定义及简单的公式1.1矩阵的秩的定义定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义.1.2矩阵的秩的几个简单性质性质1秩()=0,当且仅当是零矩阵性质2秩()=,当且仅当
6、
7、≠0性质3设是×矩阵,则秩()≤性质4秩秩+秩性质5设,分别为与矩阵,则秩min{秩,秩,,,}.第二章矩阵的秩的相关问题2矩阵的秩与向量的线性关系高等
8、代数中,判断向量组的线性相关性时,我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来.这种做法简单易懂,第16页,共16页但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂,上述方法有一定的局限性.我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题.首先,有以下的结论.2.1线性相关性的判断定理2.1设令=,其中是矩阵,为维列向量,且=则线性相关=0有非零解秩.线性无关=0只有零解秩=.例2.1设为阶方阵,为个线性无关的维向量,证明:秩=的充要条件是,,,线性无关.证明令=,那么0.先证明必要性设秩=,所以0.令=0（2.1.1）用左乘（2.1.1）式得=
9、0.所以.即,,,线性无关.再证明充分性因为,,,线性无关，所以=0,从而0,即秩=2.2极大线性无关组定理2.2（1）:,若在中存在个线性无关的向量,且都可以由线性表出,则称是第16页,共16页的一个极大线性无关组,且称秩=.（2）两个等价的的向量具有相同的秩.（3）若=,其中是矩阵,若线性无关,则秩=秩.例2.2设有向量组（Ⅰ）=,=,=,（Ⅱ）=,=,=.试问：当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价?当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？解作初等行变换,有=（1）当a时,有行列式=0,秩=3,故线性方程组=均有惟一解.所以可由向量组（Ⅰ）
10、线性表示.行列式=60,秩=3,故可由向量组（Ⅱ）线性表示.因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.（2）当a=时,有由于秩秩,线性
