1981年全国统一高考数学试卷(理科)

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1、1981年全国统一高考数学试卷（理科）　一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．　2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．　3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．　4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．　5．（10分）

2、解不等式（x为未知数）：．　6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．　7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？　8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．　9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所

3、给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．　10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣…+（﹣1）kbk；求证：un=un﹣1+un﹣2（n≥3）．　1981年全国统一高考数学试卷（理科）参

4、考答案与试题解析　一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较

5、小．　2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）

6、选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．　3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条

7、件的定义进行逐一判断即可．解答：解：见表对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3则

8、a

9、=3，但

10、a

11、=3则a=±3，故答案为：充分条件；对于第三个：θ=150°则sinθ=，但sinθ=则θ可能为30°，故答案为：充分条件；对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件

12、；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要