电动力学课题解答参考

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1、华中师范大学本科生课程电动力学习题辅导第一章、电磁现象的普遍规律1、根据算符r的微分性与矢量性，推导下列公式：r(A~¢B~)=B~£(r£A~)+(B~¢r)A~+A~£(r£B~)+(A~¢r)B:~A~£(r£A~)=1rA~2¡(A~¢r)A:~2解：1）r(A~¢B~)=B~£(r£A~)+(B~¢r)A~+A~£(r£B~)+(A~¢r)B~首先，算符r是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题，r将作用于A~和B~。又因为r是一个矢量算符，具有矢量的所有性质.因此，利用公式~c¢(~a£~b)=~a(~c¢~b)¡(~c¢~a)~b可得到上式

2、，其中右边前两项是r作用于A~，后两项是r作用于B~.2)根据第一个是式子，令A~=B~可以得证.2、设u是空间坐标x，y，z的函数，证明：dfr(f(u))=ru;dudA~r¢A~(u)=ru¢;dudA~r£A~(u)=ru£:du证明：1)@f(u)@f(u)@f(u)dfudfudfudfr(f(u))=~ex+~ey+~ez=¢~ex+¢~ey+¢~ez=ru@x@y@zduxduyduzdu2)@A~x(u)@A~y(u)@A~z(u)A~x(u)@uA~y(u)@uA~z(u)@udA~r¢A~(u)=++=¢+¢+¢=ru¢@x@y@zdu@xdu@ydu

3、@zdu3)¯¯¯¯~ex~ey~ez¯¯¯¯¯@@@¯@Az@Ay@Ax@Az@Ay@Axr£A(u)=¯¯=(¡)~ex+(¡)~ey+(¡)~ez¯@x@y@z¯@y@z@z@x@x@y¯¯¯Ax(u)Ay(u)Az(u)¯@Az@u@Ay@u@Ax@u@Az@u@Ay@u@Ax@u=(¡)~ex+(¡)~ey+(¡)~ezdu@ydu@zdu@zdu@xdu@xdu@ydA~=ru£:dup3、设r=(x¡x0)2+(y¡y0)2+(z¡z0)2为源点x0到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点.第一页华中师范大学本科生课程电动力学习题辅导@@@(1)证明下列结

4、果，并体会对源变数求微商(r0=~e+~e+~e)与对场变数求微xdx0ydy0zdz0@@@商(r=~ex+~ey+~ez)的关系：dxdydz~r11~rrr=¡r0r=r=¡r0=¡rrrr3~r~r~rr£=0r¢=¡r0¢=0:(r6=0)r3r3r3(最后一式在r=0点不成立，见第二章第5节).(2)求r¢~r，r£~r，(a¢r)~r，r(~a¢~r)，r¢(E0sin(~k¢~r))，r£(E0sin(~k¢~r))，其中~a、~r及E~0均为常矢量.证明:¯¯¯¯~ex~ey~ez¯¯¯@@@¯r¢~r=¯¯¯¯=0¯@x@y@z¯¯x¡~x0y¡~y0z

5、¡~z0¯@@@r£~r=[(a~e+a~e+a~e)¢(~e+~e)+~e][(x¡x0)~e+(y¡y0)~e+(z¡z0)~e]xxyyzzxyzxyz@x@y@z@@@=((a+a+a)[(x¡x0)~e+(y¡y0)~e+(z¡z0)~e]xyzxyz@x@y@z=ax~ex+ay~ey+az~ez=~ar(~a¢~r)=~a£(r£~r)+(~a¢r)~r+~r£(r£~a)+(~r¢r)~a=(~a¢r)~r+~r£(r£~a)+(~r¢r)~a=~a+~r£(r£~a)+(~r¢r)~a:r¢(E~0sin(~k¢~r))=[r(sin(~k¢~r))]¢E

6、~0+sin(~k¢~r)(r¢E~0)@@@=[sin(~k¢~r)~ex+sin(~k¢~r)~ey+sin(~k¢~r)~ez]E~0@x@y@z=cos(~k¢~r)(kx~ex+ky~ey+kz~ez)E~0=cos(~k¢~r)(~k¢E~)r£(E0sin(~k¢~r))=cos(~k¢~r)(~k£E~)第二页华中师范大学本科生课程电动力学习题辅导4、应有高斯定理证明ZIdVr£f~=dS~£f~VS应用斯托克斯定理证明ZIdS~£rÁ=d~lÁSL证明:1)由高斯定理ZIdVr¢~g=dS~¢~gVS即：ZI@gx@gy@gz(++)dV=gxdSx+gy

7、dSy+gzdSzV@x@y@zS而ZZ@@@@@@dVr£f~=[(fz¡fy)~i+(fx¡fz)~j+(fy¡fx)~k]dVV@y@z@z@x@z@yZ@@@=[(fy~k¡fz~j)+(fz~i¡fx~k)+(fx~j¡fy~i)]dV@x@y@z又：IIdS~£f~=[(fzdSy¡fydSz)~i+(fxdSz¡fzdSx)~j+(fydSx¡fxdSy)~k]SIS=(fy~k¡fz~j)dSx+(fz~i¡fx~k)dSy+(fx~j¡fy~i)dSz若令Hx=fy~k¡fz~j,Hy=fz~i¡