电动力学习题解答2

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1、电动力学习题解答第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）（2）（3）（4）2.在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当时，电势满足拉普拉斯方程，通解为因为无穷远处，所以，，当时

2、，所以即：第15页电动力学习题解答所以（2）设球体待定电势为，同理可得当时，由题意，金属球带电量所以3.均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：当时，，。当时，为有限，。所以，由于球对称性，电势只与R有关，所以，所以空间

3、各点电势可写成当时，由得：第15页电动力学习题解答由得：，则所以（二）应用高斯定理在球外，R>R0，由高斯定理得：，（整个导体球的束缚电荷），所以，积分后得：在球内，R

4、；球外电势可写成：其中和为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，和均与无关。考虑到时为有限值；时，故拉普拉斯方程的解为：由此（1）（2）第15页电动力学习题解答边界条件为：（3）（4）将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较的系数，可得：于是得到所求的解为：在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。所以在两介质交界面上，极化电荷面密度为由于，所以5.空心导体球壳的内外半径为和，球中心置一偶极子球壳上带电，求空间各点的电势和电荷分布。解：以球心为原点，以的方向

5、为极轴方向建立球坐标系。在及两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为第15页电动力学习题解答当时，电势趋于零，所以时,电势可写为(1)当时，电势应趋于偶极子激发的电势：所以时，电势可写为(2)设球壳的电势为,则(3)(4)由(3)得：；由(4)得：；；所以(5)(6)再由得：(7)将(7)代入(5)(6)得：在处，电荷分布为：在处，电荷分布为：6.在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球（电容率为），求空间各点的电势。解：以球心为原点，以的方向为极轴方向建立球坐标系。将空间各点的电势看作由两部分迭加而成，一部分为绝缘介质球内

6、的均匀自由电荷产生，另一部分第15页电动力学习题解答为外电场及感应的极化电荷产生。前者可用高斯定理求得，后者满足拉普拉斯方程。由于对称性，的形式为对于，当时，由高斯定理得：，当时，由高斯定理得：，的球外部分：（1）的球内部分：（2）对于，当时，，所以当时，为有限，所以边界条件为：时，，。即：比较的系数，解得：所以(3)(4)由(1)(2)(3)(4)得:第15页电动力学习题解答7.在一很大的电解槽中充满电导率为的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论及两种情况的电流分布的特

7、点。解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度Jf0与电场强度E0成正比（比例系数为电导率），所以E0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。(1)未放入小球时，电流密度Jf0是均匀的，由Jf0可知，稳恒电场E0也是一个均匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势便是均匀电场E0的电势。放入小球后，以球心为原点，E0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，，所以：(1)由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:(2)设小球内的电势为，

8、电解液中的电势为，则在交界面上有：(3)(4)将及代入(1)，得：可见满足拉普拉斯方程考虑到对称性及时，球外电势的解可写成：(5)其中利用了。考虑到时电势为有限值，球内电势的解可写成：(6)因为选处为电势零