电动力学习题解答

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1、第三章静磁场1.试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。解：是沿z方向的均匀恒定磁场，即，由矢势定义得；；三个方程组成的方程组有无数多解，如：，即：；，即：解与解之差为则这说明两者之差是无旋场2.均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。解：根据题意，取螺线管的中轴线为z轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由求解磁场分布，又J只分布于导线上，所以dl1)螺线管内部：由于螺线管是无限长r理想螺线管，所以其内部磁场是Oz均匀强磁场

2、，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。由其无限长的特性，不I妨取场点为坐标原点建立柱坐标系。，取的一小段，此段上分布有电流2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点为场点，其中。第9页3.设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z<0空间充满磁导率为的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为，；z<0区域为，，由对称性可知和均沿方向。由于的切向分量连续，所以。由此得到，满足边值关系，由唯一性定理可知，

3、该结果为唯一正确的解。以z轴上任意一点为圆心，以r为半径作一圆周，则圆周上各点的大小相等。根据安培环路定理得：，即，，(z>0)；，(z<0)。在介质中所以，介质界面上的磁化电流密度为：总的感应电流：，电流在z<0区域内，沿z轴流向介质分界面。4.设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：及。由此可得介质中：由得：在x<0的介质中，则：再由可得，所以，（沿z轴）5.某空间区域内有轴对称磁场。在柱

4、坐标原点附近已知，其中为常量。试求该处的。提示：用，并验证所得结果满足。第9页解：由于B具有对称性，设，其中，，即：，（常数）。当时，为有限，所以；，即：（1）因为，，所以，即（2）直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c为常数)6.两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上。每个线圈上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。提示：用条件解：1）由毕—萨定律，L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为，同理，-L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为：，。所

5、以，轴线上的磁感应强度：（1）2）因为，所以；又因为，所以，。代入（1）式并化简得：将z=0带入上式得：，7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为：自然边界条件：时，有限。边值关系：；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与z无关。令第9页，，代入微分方程得：；解得：；由自然边界条件得，由得：，由并令其为零，得：，。；8.假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。解：由得：

6、(1)令,得:,(2)显然满足(1)式，所以磁单极子产生的矢势讨论：当时，；当时，；当时，，故的表达式在具有奇异性，此时不合理。9.将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应强度和诱导磁矩m。解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H0的方向为，此球体被外加磁场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。第9页本题所满足的微分方程为：（1）自然边界条件：为有限；。衔接条件：在处满足及由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：；由两个衔接条件，有：比较的系数，解得：；；，即：，（

7、），（）在R

8、源的表示是：所以上面的解中，，解的形式简化为：；；代入衔接条件得：，，，。解方程组得：，，，。从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内：当时，，所以。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。11.设理想铁磁体的磁化规律为，其中是恒定的与无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化