11 电动力学习题参考解答

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1、GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.电动力学习题与参考解答第1章电动力学的数学基础与基本理论1.1A类练习题1.1.1利用Ñ算符的双重性质，证明rrrrrr2（1）Ñ´(jA)=Ñ´jA+Ñ´jA，（2）Ñ´Ñ´(A)=ÑÑ×(A)-ÑA证（1）根据Ñ算符的微分性质有rrrrrÑ´(jA)=Ñ´(jA)+Ñ´(jA)=Ñ´+Ñ´jA(jA)jAjAr其中Ñ或Ñ分别表示只对j或A作用。由于Ñ对标量函数只能取梯度，故jAArrÑ´(jA)=Ñ

2、(j)´AAA因此rrrÑ´(jA)=jÑ´+ÑA(j)´AjA去掉算符的角标，即可得到要证明的等式。rrrrrrrrr（2）根据Ñ算符的矢量性质及公式a´(bc´)=(acb×)-(abc×)，有rrrÑ´Ñ´(A)=ÑÑ×(A)(-Ñ×Ñ)Arrr注意：第一，ÑÑ×(A)不能写成(Ñ×A)Ñ，否则将失去意义；第二，这里仅有一个函数A，故不用算符的微分性质即可证明。rrrrr1.1.2证明以下几个常用等式，其中r=(xxe-¢)+(y-ye¢)+(z-ze¢),a为常数，xyzu=uxyz(,,)。rvrrrr1r（1）Ñ×=-Ñ×=r¢r3，（2）Ñ´=r0，（3）Ñ

3、=-Ñ=r¢r，（4）Ñ=-，3rrrrrrrrrrrrrdA（5）Ñ´=0，（6）Ñ×=-Ñ¢×=0(r¹0)，（7）Ñ(ar×)，（8）Ñ´Au()=Ñ´u。333rrrdur¶(xx-¢)¶(yy-¢)¶-(zz)证（1）Ñ×=r++=3¶x¶y¶zr¶(xx-¢)¶(yy-¢)¶(zz-)Ñ×=¢r++=-3¶x¢¶y¢¶z¢rr所以Ñ×=-Ñ×=r¢r3。rrreeexyzr¶¶¶（2）Ñ´=r=0¶x¶y¶zxx-¢yy-¢zz-¢GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.

4、comForevaluationonly.vr¶rr¶rr¶rrxx-¢ry-y¢rz-z¢r（3）Ñ=re+e+e=e+e+e=xyzxyz¶x¶y¶zrrrrrr¶rr¶rr¶rrx-x¢ry-y¢rz-z¢rÑ=¢re+e+e=-e-e-e=-=-Ñrxyzxyz¶x¢¶y¢¶z¢rrrrr1¶(1/)r1r（4）Ñ=Ñ=-rÑ=-r23r¶rrrrrr1r1r13v-3rr（5）Ñ´=Ñ´+Ñr()´r=´-0Ñ´rr=´=r0333345rrrrrrrrrrr1rÑ×r-3rÑ×r-3rr1（6）Ñ×=Ñ×+r=Ñ×+rr=(×r)+´=303334343rrr

5、rrrrrrrrr1rÑ×¢r-3-rr1Ñ×¢=Ñ(¢)×+r=(×r)+´-(3)=0，33343rrrrrr所以rrrrÑ×=-Ñ¢=0(r¹0)33rrrrrrrrrrrr（7）Ñ(ar×)=´Ñ´a(r)(+a×Ñ)r+´Ñ´r(a)(+r×Ñ)arrrrr¶r¶r¶rr=+0(a×Ñ)r++=00a+a+a=axyz¶x¶y¶zrrræeeeöxyzç÷r綶¶÷（8）Ñ´Au()=ç¶x¶y¶z÷ç÷çAAA÷èxyzø¶Az¶Ayr¶Ax¶Azr¶Ay¶Axr=(-)e+(-)e+(-)exyz¶y¶z¶z¶x¶x¶ydAz¶udAy¶urdAx¶udA

6、z¶urdAy¶udAx¶ur=(-)e+(-)e+(-)exyzdu¶ydu¶zdu¶zdu¶xdu¶xdu¶yuvdA=Ñ´udu1.1.3从真空麦克斯韦方程出发，（1）导出电荷守恒定律的微分形式；（2）导出真空中的波动方程。证（1）已知麦克斯韦方程rrr¶EÑ´B=mJ+em①000¶trÑ×E=re/②0对①式两边取散度并利用②式得GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.rr¶rr¶rÑ×Ñ´（B）=mÑ×+JmeÑ×E=m(Ñ×+J

7、)0000¶t¶tr因为一个矢量场的旋度的散度为零，即Ñ×Ñ´（B）=0，所以得到r¶rÑ×+J=0¶tr（2）考虑自由电磁场（r=0,J=0），麦克斯韦方程组化为rrr¶Br¶ErrÑ´E=-，Ñ´B=em，Ñ×E=0，Ñ×B=0③00¶t¶trrr2对③中第一个方程两边取散度并利用Ñ´Ñ´(A)=ÑÑ×(A)-ÑA，得rrr¶2E2ÑÑ×(E)-ÑE=-em④002¶tr将Ñ×E=0代入④，得到电场强度满足的波动方程rr1¶2E2ÑE-=022c¶t同理可以得到磁感应强度满足的波动方程rr1¶2B2ÑB-=022c¶t1.