西安市昆仑中学 理科数学第一轮复习讲义 第63课时空间距离

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1、西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成课题：空间距离教学目标：理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离(球面距离此课时不讨论)教学重难点：点面距离.（一）主要知识及主要方法：七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离.点与点的

2、距离：解三角形及多边形；向量法：空间任意两点、间的距离即线段的长度：设、，则两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离求法：直接法：求两异面直线的公垂线段的长度；转化法：转化为线面距离或面面距离；向量法：法一、找平面使且∥，则异面直线、的距离就转化为直线到平面的距离，又转化为点到平面的距离．法二、在上取一点,在上取一点,设、分别为异面直线、的方向向量,求（，），则异面直线、的距离（此方法移植于点面距离的求法）．点到平面的距离：已知点是平面外的任意一

3、点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短.求法：直接法：过点作一平面与平面垂直，再过点作两平面的交线的垂线即可等体积法：线面平行法：若过点有一直线∥平面，则直线上的任一点到平面的距离等于到点到平面的距离.线段比例转化法：平面的统一斜线上的两点到该平面的距离与这两点到斜足的距离成比例，运用此结论可转化为另一点到该平面的距离.向量法：法一、设是平面的法向量，在内取一点,则到的距离法二、设于,利用和点在内的向量表示，可确

4、定点460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成的位置，从而求出，即直接求垂线段的长度.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).距离的共性：这其中距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征：某距离是指相应线段的长度；此线段是相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法.求距离的一般步骤：找出或作出相关的距离；证明它符合定义；归到某三角形或多边形中计算;作答.（二）典例分析：问题1．（江西）如图，在长方体中，，

5、，点在棱上移动.略；当为的中点时，求点到面的距离；略(请用多种方法，至少要用向量法)问题2．（辽宁）如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成证明：(此小题略去不写)；求的长，并求点到平面的距离．(请用多种方法，至少要用向量法)问题3．（湖北文）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且（≤≤）．则点到平面的距离为460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成问题4．（重庆）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知，，，，求：异面直线与的距

6、离；略.问题5．棱长均为的正三棱柱中，为的中点，连结，，.求证：∥平面(略去不写)；求到平面的距离.（三）课后作业：平面，是平面的两条斜线，是在平面内的射影，，，，，则点到直线的距离为460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成在长方体中，，，则直线与平面的距离是　　　PBEDCA如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，．是的中点．求证：平面平面（略去不写）；求二面角所成平面角的余弦值（略去不写）；求点到平面的距离．如图，在长方体中，，，.求证：平面∥平面（略去不写）；求平面与平面间的距离.460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲

7、义第课时席成（四）走向高考：（福建）如图，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.求证：平面（略去不写）；求二面角的大小（略去不写）；求点到平面的距离.（辽宁）如图，正方体的棱长为，、分别是两条棱的中点，、、是顶点，那么点到截面的距离是（天津）如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到直线的距离为460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为　　　　（湖北文）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且.求二面角的平面角的余弦值（

8、略去不写）；求点到平面的距离(请用多种方法，至少要用向量法)460西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成460