西安市昆仑中学 理科数学第一轮复习讲义 第59课时平面、空间两条直线

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1、西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成课题：平面、空间两条直线教学目标：理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法公理及等角定理.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.会作几何体的截面图；会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.教学重点：（一）主要知识及主要方法：公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.作用：①作为判断和证明是否在平面内的依据；②证明点在某平面内的依据；③检验某面是否平面的依据.公理：如果两个平

2、面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.作用：①作为判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点.公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论:经过两条平行直线有且只有一个平面.作用：公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线证明直线共面通常的方法：先由其中两条直线确定一个平面，再证

3、明其余的直线都在此平面内（纳入法）；分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；也可利用共面向量定理来证明.公理是证明直线共点的依据，应该这样理解：如果、是交点，那么是交线；如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；如果，点是a、b的一个公共点，那么求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是；求异面直线所成角的方法：①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,

4、则两异面直线所成的角；③补体法两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线；②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.②计算方法：公垂线法；转化成线面距离(点面距离)；转化成面面距离.436西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成（二）典例分析：问题1．（上海）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件；非充分非必要条件．(全国Ⅲ)不共面的四个定点到平面的距离都

5、相等，这样的平面共有个个个个（全国Ⅱ）正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是　三角形四边形五边形六边形如图，，、，，且，直线，过、、三点的平面记作，则与的交线必通过点；点；点但不通过点；点和点（江苏）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且.求证：四点共面；（分）略；略.问题2．（全国Ⅱ）如图，在直三棱柱中，，、分别436西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成为、的中点．证明：为异面直线与的公垂线；略.(要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性)证明：方法（用传统方法）：ABCDEA1B1C1方法（用向量法）：ABCDEA1B1C1问题3．如图，在

6、正方体中，棱长，求证：与是异面直线；求于间的距离.问题4．(上海春)在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求异面直线与所成的角(要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性).436西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成解法1（传统方法）：解法2（向量法）：（三）课后作业：如图，在正方体中，、分别是、的中点，求证：436西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成①、、、四点共面；②、、三点共线.角与的两边分别平行，当时，已知的直观图是边长为的等边，那么的面积为如图，在空间四边形中，已知，，且，对角线，，求与所成的角.（四）走向高考：（北京）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，

7、且交于点，则动点的轨迹是一条直线一个圆一个椭圆双曲线的一支（北京文）设、、、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是436西安市昆仑中学理科数学第一轮复习讲义第课时席成若与共面，则与共面若与是异面直线，则与是异面直线若，，则若，，则（重庆）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与平行相交垂直互为异面直线（全国Ⅰ）在正方形中，过对角线的一个平面交于，交于，则①四边形一定是平行四边形;②四边形有可能是正方形③四边形在底面内的投影