高中数学必修5自主学习导学案：2.1数列的概念与简单表示法

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1、2.1数列的概念与简单表示法（学生版）1．新课引入观察下列图形，这些数有什么规律？观察下面几组数，这些数有什么规律吗？（1）1，2，3，4，5，···n，···.（2）－1，1，－1，1，···.（3）3，3，3，3，….思考：上述的这些数的共同特点是什么?——按照一定顺序排列的一列数.2．概念（1）数列定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列．（2）数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排第二位的数称为这个数列的第2项，······，

2、排第n位的数称为这个数列的第n项.概念理解：（1）相同的一组数按不同的顺序排列时，是否为同一数列?不是（2）一个数列的数可以重复吗?可以重复（3）数列的一般形式：，上面数列可简记为{an}，其中an是数列的第n项．3．数列的分类（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列：例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列：例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数

3、列常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列【例1】下列数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）全体自然数构成数列：0，1，2，3，4，5，.......（2）广东省某中学2011～2016年在校学生人数：890,1000，920,1100，1120,1021（3）无穷多个3构成数列：3，3，3，3，.......（4）人民币面额按从大到小的顺序排列：100，50，20，10，5，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01（5）的1

4、次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…….构成数列：，1，，1，…….4．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函如果（）有意义，那可得到一个数列，即数列是一种特殊的函数．5．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．如数列：的通项公式为又如数列：－1，1，－1，1，···.的通项公式为：【例2】根据下面数列的通项公式，写出它的前4项：（1）（2

5、）【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：；；；练习1：求以下各数列的通项公式（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）10，100，1000，10000，…..（7）（8）特别说明：1、不是每一个数列都能写出其通项公式，如数列：3，3.1，3.14，3.141,3.1415，….2、数列的通项公式不唯一，如：-1,1,-1,1,…，，3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数.4、数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．6．数列的表示与函数一样，

6、数列也可以用图象、列表等方法来表达．数列的图象是一系列孤立的点列，数列：2，4，6，8，10，……（1）其通项公式是：（2）列表为:（3）图象为直线上的无数个孤立点7．数列的递推公式观察下列三角形数，思考：这些数有什么规律吗？首项为1，从第2项起，第n项等于第n-1项加上n，也就是a1=1,an=an-1+n(n>1)已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．如数列1，3，6，10的递推公式可表示为：a1=1

7、,an=an-1+n(n>1)递推公式也是数列的一种表示方法．【例4】设数列满足，写出这个数列的前5项．※典型例题考点1．通项公式的简单应用【例5】．已知数列{an}的通项公式为an＝，(1)写出此数列的前3项；(2)试问和是不是它的项？如果是，是第几项？变式1：已知数列{an}的通项公式是an＝.(1)写出该数列的第4项；(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．考点2．由数列通项公式研究数列的单调性与最大（小）项【例6】已知数列{an}的通项公式是an＝，(1)求该数列的第1

8、0项．(2)是不是该数列的项？(3)判断此数列的增减性．变式1．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值为(　　)A．107B．108C．108D．109变式2．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．变式3：数列的通项公式为，试判断其单调性．考点3．根据数列的递推公式归纳通项公式【例7】(1)已知数列{a