高考数学专题突破——导数与积分之导数与“恒成立”问题

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1、高考数学专题突破——导数与积分导数与“恒成立”问题（学生版，后附教师版）【知识梳理】恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处．函数在给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上，某关系式恒成立；②某函数的定义域为全体实数；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于．【基础考点突破】考点

2、1．分离变量法解决恒成立问题【例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．考点2．构造函数解决恒成立问题【例2】已知函数，其中．（1）若对任意实数，都有，求的取值范围；（2）若对任意实数，都有，求的取值范围．【归纳总结】本题2个问题都是恒成立问题，题目貌似相同．仔细分析，可发现它们实则不一样．第（1）问中，若对任意实数，都有，．此时的，能同时使取得最大值和取得最小值．第（2）问中，若对任意实数，都有．此时的，不是同时使取得最大值和取得最小值的．因此，只有分别求出和，才能求解．变式训练1．（20

3、13年高考新课标Ⅰ）设函数，，曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．（1）求、、、的值；（2）若时，恒成立，求的取值范围．变式训练2．（2014年新课标Ⅰ）设函数，曲线在点处的切线为．（1）求；（2）证明：．考点3．利用导数证明不等式恒成立问题：不等式恒成立问题是中学数学中常见的问题之一，解答这类问题常常有如下3种常用的技巧和思路：①利用判别式；②借用重要结论“不等式恒成立”和“不等式恒成立”；③利用图形辅助求解．【例3】已知函数，当时，求证．【基础练习巩固】1．（2016年北京模拟）设函数，若对任意的，都有

4、成立，则实数的值为．2.【2015高考福建改编】已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对3．【2016高考山东理数】已知．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立．高考数学专题突破——导数与积分导数与“恒成立”问题（教师版）【知识梳理】恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处．函数在

5、给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上，某关系式恒成立；②某函数的定义域为全体实数；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于．【基础考点突破】考点1．分离变量法解决恒成立问题【例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．分析：讨论的取值情况，并分离字母，利用基本不等式恒成立，求解的取值范围．解析：当时，原不等式变为：，显然恒成立，此时；当时，，设，则，从而在上单调递增，此时，从而．当时，，．由上述易知：当时，；当时，．从而在上单调递减，在上单调递增．当时，有极小

6、值，也为最小值．故：，从而．综上所述：的取值范围为．考点2．构造函数解决恒成立问题【例2】已知函数，其中．（1）若对任意实数，都有，求的取值范围；（2）若对任意实数，都有，求的取值范围．解：（1）先求在上的最小值．易求，令，解得：．在上，当变化时，与的变化情况如下表所示．易知：，从而，即：所求的取值范围为．（2）对任意实数，都有对任意实数，都有．先求的最大值，再求的最小值．，令，可得：或．比较的大小，可得：．代入，得：，解得：，即所求的取值范围为．【归纳总结】本题2个问题都是恒成立问题，题目貌似相同．仔细分析，

7、可发现它们实则不一样．第（1）问中，若对任意实数，都有．此时的，能同时使取得最大值和取得最小值．第（2）问中，若对任意实数，都有．此时的，不是同时使取得最大值和取得最小值的．因此，只有分别求出和，才能求解．变式训练1．（2013年高考新课标Ⅰ）设函数，，曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．（1）求、、、的值；（2）若时，恒成立，求的取值范围．解析：（1），，，．（2）由（1）知，．构造函数：，则．由题意可得，即．令，得，．（ⅰ）若，则，从而当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．．故当

8、时，，即恒成立．（ⅱ）若，则．当时，，即在上单调递增．而，故当时，，即恒成立．综上所述，的取值范围是．变式训练2．（2014年新课标Ⅰ卷理科21题）设函数，曲线在点处的切线为．（1）求；（2）证明：．解（1）（过程略）．（２）由（１）知，从而，等价于．记，，因为，所以，当时，；当时，．故在内单调递减，在内单调递增，从而在内的最小值为．又因为，所以，当时，；当时，．故在内单调递增，在内单