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《高考数学专题突破——导数与积分之导数与函数的零点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高考数学专题突破——导数与积分导数与函数的零点【知识梳理】研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.【基础考点突破】【例1］利用导数解决函数零点问题【例1】(2014-课标全国II)已知函数_/(x)=x3-3x2+^v+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(1)求a；(2)证明：当XI时，曲线y=/(x)与宜线y=kx~2有一个交点.解析：f(x)=3,-6x+a,f(0)=a
2、.2曲线y=Av)在点(0，2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得-：=-2,所以a=l.(2)证明由(1)知，.心)=/-3,+乂+2,设g(x)=J{x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当xWO时，g‘(x)=3x2—6x+1-QO,g(x)单调递增，g(-l)=^-l<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-8,0］有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h{x)+(1—k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),A(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增，所以g(x)>h(x)^h(2)=0.所以g
3、(x)=0在(0,+8)没有实根.综上，g(x)=0在R有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.变式训练1•已知函数./(x)=x2+xsinx+cosx的图象与宜线y=b有两个不同交点，求b的取值范围.解f(x)=兀(2+cosx),令(x)=0,得x=0.・•・当x>0时，f(x)>0,j{x)在(0,+8)上递增.当兀<0时，f(x)<0,.心)在(-8,0)上递减.・・・.心)的最小值为/0)=1.•・•函数./W在区间(-I0)和(0,+8)上均单调，.••当Q1时，曲线厂.心)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知，的取值范围是(1,+8).【例2】(2
4、016年北京高考)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线尹=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)设a=b=4,若函数/(Q有三个不同零点，求c的取值范围;(Ill)求证：a—3b>0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解：(I)由/(x)=x3+ax2++c,得/'(兀)=3十+2ox+b.因为/(0)之，.厂(0)=方，所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y^bx+c.(II)当a=b=4时，/(x)=兀‘+4〒+4x+c,所以/r(x)=3x2+8x+4.2令/'(x)=0,#3x2+8x+4=0,(W得兀=一2或x=——./(X)与
5、/'(兀)在区间(一8,+8)上的情况如下:X(-00,-2)-2h-l)2_亍(2),+0013丿/⑴+0—0+/⑴□c□32c27□3?2所以，当c>011.cv0吋，存在xg(—4,—2)9x96—2,—27、丿_I3<2A兀3丘-了，0,使得/(兀J*(兀2)=/(兀3)=0.37由/(x)的单调性知，当且仅当cw0,—时，函数/(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.27丿(III)当4=4，一12/?<0时，/'(兀)=3兀2+2ax+b>0,xg(-00,4-00),此时函数/(x)在区间(-00,+oo)上单调递增,所以/(兀)不可能有三个不同零点.当4=4/_i2
6、b=0时，f(x)=3x2+2ax+b只有一个零点，记作当XG(-OO,X0)时，厂(X)>0,/(X)在区间(-OO,X0)上单调递增;当xe(x0,+oo)时，广(兀)〉0,/(兀)在区间(兀0,+00)上单调递增.所以/(X)不可能有三个不同零点.综上所述，若函数/(X)有三个不同零点，则必冇△=4/—I2b〉o.故a2-3b>0是/(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时，a2-3b>0f/(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点，所以/—3b〉0不是/(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b>0是/(兀)有三个不同零点的必要而不充分条件.变式训
7、练2.(2016年全国I卷高考)已知函数=(X-2)©x+a(X(I)讨论代©的单调性；(II)若f国冇两个零点，求。的取值范用.【解析】(I)fx)=(x-)ex+2a(x-1)=(x-l)(ex+2a).(i)当d»0时，则当x>l时，f(x)>0；当xvl时，.厂(x)<0故函数/(工)在(-oo,l)单调递减，在(1,+oo)单调递增.(ii)当d<0时，由fx)=0,解得：x=l或x=ln(—
