复变函数与积分变换课程教学大纲

《复变函数与积分变换课程教学大纲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程代码：2109010610课程名称：复变函数与积分变换FunctionofComplexVariableandIntegralTransform学　　分：3.5总学时：56（其中：理论学时：56实验（上机）学时：0）先修课程：2109020031高等数学A适用对象：机械、自动化、电气信息等本科专业一、课程地位、作用与任务通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的一些基本概念、基本理论与基本方法；能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生掌握Fourier变换、Laplace变换的性质及相关计算，并以

2、此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打好基础。培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，为学习相关后续专业课程奠定必要的数学基础，并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础。二、教学内容及组织该课程主要讲授复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的级数表示法，留数理论及其应用，共形映射，解析函数在平面场的应用，（其中第六章与第七章选讲），傅里叶变换与拉普拉斯变换。通过课程教学要使学生初步掌握解析函数、复积分、级数、留数、保形映射、傅里叶变换与拉普拉斯变换等基本概念和基本计算方法，培养学生初步运用复变函数与积分变换理论分

3、析问题、解决问题的能力。1.复数与复变函数明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。知道复数的性质，平面点集的定理，极限运算及连续函数的基本性质。掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质，会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。进一步认识复数域的结构。了解复数在几何中的应用。重点：用复数的各种表示法进行运算。辨析实函与复函概念的异同。5难点：复数的辐角，多值函数，复函的几何意义的应用。1.1复数：复数的概念及表示；复数的运算；复数在几何上的应用。1.2复数的三角表示法：复数的模与辐角；复数的三角表示；复数的乘方与开方。1.

4、3平面点集的一般概念：开集与闭集；平面曲线。1.4无穷大与复球面：无穷远点；复球面。1.5复变函数：概念；极限；连续。2.解析函数理解导数、解析函数、柯西—黎曼方程、各类基本初等函数的概念。掌握解析函数的定义和等价刻画。知道基本初等函数的解析性，理解根式函数和对数函数的单值解析分支。掌握函数的可导性和解析性的充要和充分条件，熟练求各阶导数。重点：复变函数可导与解析的判别法，柯西—黎曼方程，求导公式。难点：对数函数与幂函数。2.1解析函数的概念：复变函数的导数；解析函数的概念与求导法则；解析函数的充分必要条件。2.2解析函数和调和函数的关系：调和函数的概念；共轭调

5、和函数。2.3初等函数：指数函数；对数函数；幂函数；三角函数；双曲函数。3.复变函数的积分理解复积分的概念，掌握复积分的计算。掌握柯西积分定理，柯西积分定理的推广，复围线柯西积分定理。了解柯西积分定理的古莎证明。掌握柯西积分公式，解析函数平均值定理，解析函数无穷可微性及其理论。会利用柯西积分公式及复围线柯西积分定理计算围线积分。理解调和函数、共轭调和函数的概念。掌握解析函数与调和函数的关系，会求已知实部或虚部的解析函数。重点：柯西积分定理及其推广，柯西积分公式，高阶导数公式。难点：已知解析函数的实部或虚部求解析函数。3.1复积分的概念：复积分的定义与计算、复积分

6、的基本性质。3.2柯西积分定理：定理的证明、推广、应用。53.3柯西积分公式：公式及其应用。3.4解析函数的高阶导数：刘维尔定理。4.解析函数的级数表示知道复变函数项级数、幂级数、泰勒展式、洛朗级数、收敛半径、收敛圆的概念。了解复函数项级数和函数的连续性，逐项积分性质和解析性。掌握幂级数和的解析性，会求幂级数的收敛半径和收敛圆。理解泰勒定理及其证明，知道幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。会求一些初等函数的泰勒展式。知道解析函数零点的概念。理解解析函数零点的孤立性定理，唯一性定理和最大模原理，并会利用它们证明一些命题。重点：幂级数；泰勒定理；洛朗定理。难点：求具体

7、函数的泰勒展式；洛朗级数。4.1复数项级数：复数序列的极限；复数项级数；条件与绝对收敛。4.2复变函数项级数：幂级数：幂级数的敛散性；收敛半径的求法；幂级数和的解析性。4.3泰勒级数：泰勒定理；一些初等函数的泰勒展式。4.4洛朗级数：洛朗定理；函数的洛朗级数展开式。5.留数及其应用理解留数概念，理解留数定理及证明，会求孤立奇点的留数，会利用留数定理计算围线积分。掌握利用留数定理计算实积分的四种类型。了解辐角原理和儒歇定理及其应用。重点：留数定理，留数计算及应用。难点：留数定理及证明。5.1孤立奇点：孤立奇算点的分类；函数零点与极点的关系。5.2留数：留数的概念；

8、留数定理。5.3留数在定