1998年俄罗斯数学奥林匹克

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1、1998年俄罗斯数学奥林匹克(未完成)1.将由1至16内的整数写在一直在线(不是在圆周上)，使得每两个相邻的数的平方和为完全平方数。2.在一个等边三角形ABC的两边AB、BC上分别选取两点D、K，并在边AC上选取两点E、M使得DA+AE=KC+CM=AB。证明直线DM、KE的夹角等于60。。3.一间公司有50,000个雇员，每个雇员有顶头上司和手下共有7个人。每周一，每个有手下的雇员会发出一度指令到他的所有手下。之后每天每个雇员取出他前一天收到的指令，对于有手下的雇员，他会将指令分派到他的所有手下，否则他自己执行这指令。到周五，再没有任

2、何指令再要派出去。证明这间公司至少有97个雇员，他们没有顶头上司。4.一角锐角五角形ABC的三边分别是正方形K1、K2、K3的对角线。证明三角形ABC能被这三个正方形K1、K2、K3所覆盖。5.在一直在线写上由1至37的各个整数使得每个数都能整除在它以前的各数之和。如果第一个数是37而第二个数是1。问第三个数是甚么？6.试找出所有素数对(p，q)满足p3-q5=(p+q)2。7.一个正1997边形受到某些互不相交的对角线分割为多个三角形。证明至少有一个三角形是锐角的。8.在黑板上写上由1至1000的各个整数，两位参赛者轮流擦去黑板上的一

3、个数。当剩下两个数时，游戏便结朿。如果这两个数之和能被3整除，则第一位参赛者获胜；否则第二位参赛者获胜。问那位参赛者有必胜战术。9.现有300个苹果，其中任何一个不重于另一个的3倍。证明这些苹果可以用4个一组分开，使得每组重量不超过其它组的11/2倍。10.有一个m×n长方形网格，其中m、n是奇整数。起初用多个1×2的骨牌来覆盖这网格的格子，只剩下网格的四个角中的某一个1×1格子。允许滑动网格上的(与空格相邻的)一个骨牌来填补这空格，因而留下另一个空格。证明经有限多步滑动后，可将空格移到长方形网格的任一个角处。11.在机械城，有限若干个

4、有限长的数字列被禁止使用。已知存在一个无穷长的十进制小数，它不包含任何禁止的数字列。证明：存在一无穷长的周期十进制分数，不包含任何禁些的数字列。12.(a)一组有1997个两两不同的数满足下述性质：若从各数之和分别减去陆续减去这组内的数，所得到的1997个差和原来的1997个数相同。证明：这些数的乘积是零。(b)一组有100个两两不同的数满足上述的性质，证明这些数的积是正的。13.已知三角形ABC，设点A1、B1、C1分别为断折线CAB、ABC、BCA的中点。设直线LA、LB、LC分别为过点A1、B1、C1且平行于角A、B、C的角平分线

5、。证明LA、LB、LC共点。14.MK-97计算器能够把它的记忆中数目作下述运算：a.决定两个数是否相同；b.计算两个选定的数目之和；c.对选定的数目a、b，计算出方程的实根x2+ax+b，或者宣布实根不存在。每个运算的结果会在记忆中积累起来，起初计算器只有一个数目x。问如何利用MK-97来决定x是否1？1.圆S1、S2相交于M、N。如果一个长方形ABCD的顶点A、C分别位于圆S1，而顶点B、D分别位于圆S2，证明这长方形的对角线之交点在直线MN上。2.对任意的自然数m、n，证明2n-1能被(2m-1)2整除当且仅当n能被m(2m-1)

6、整除。3.问一个边长为4的正方体的三块互相相邻的面能否用16块1x3的长方形覆盖？4.一个三角形的顶点位于一正方形K内。如果这个三角形绕着它的重心转旋180。，证明至少有一个顶点留在这正方形内。5.设S(N)为自然数N的各数字之和，证明存在无穷多个自然数n使得S(3n)≧S(3n+1)。6.国会内的议员组成多个重迭的派系，使得对任意两个(不一定不同的)派系A、B，A∪B的余集也是一个派系。证明：对于任意两个派系A、B，A∪B也是一个派系。7.若1

7、0。8.设n≧4，问能否存在一个有三角形为底的锥体及另一个有凸n边形为底的的锥体，使得底为三角形的锥形之立体角与底为n边形的锥形之其中四个立体角重合？9.问对哪一个实数a，使得存在一个非常值的函数f：R→R使得f(a(x+y)=f(x)+f(y)？10.设P(x)为一非负系数的二次多项式，证明对任意实数x、y，不等式P(xy)2≦P(x2)P(y2)成立。11.已知一凸多边形M在90。旋转下保持不变。证明存在两个圆，它们的半径比例是√2，其中一个圆包含M，而M包含另一个圆。12.是否存在实数b、c使得以下的方程x2+bx+c=0及2x2

8、+(b+1)x+c+1=0，每个皆有两个整数根？13.一班有33个学生，每个学生会要回答班中有多少个学生和他有相同的名字，及有多少个学生和他有相同的姓氏。已知在这些答案中0至10的每个数也出现。证明：班中存