数学奥林匹克问题

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1、中等数学假设AB>AC，则本期问题BP>CQ．初267四位数与它的四个数字之从而，BN>CM．和为四位数W，：与它的四个数字之和为四设0为BC的中位数tc，，，与它的四个数字之和为四位数点，联结OD、OE．则1W，W与它的四个数字之和为四位数，OD：BM二与它的四个数字之和为2009．求W．曰DC1初268如图1，>+cN=OE．图2已知半径为r的00因为BD=CE，OB=OC，所以，与边长为4r的正方DBO>ECO．，①形ABCD的两边AB、又BE>CD，CE=BD，BC：BC，则BC相切，过点A作ECO>DBO．

2、o0的切线交BC于图1与式①矛盾．点E．求证：AE是以所以，AB<~AC．CD为直径的圆的切线．同理，AC<~AB．高267给定Rt△ABC，C=90。，在A故AB=AC．AC上任取一点，在BC上任取一点Ⅳ，设过(宿晓阳四川省成都市金牛区西林巷M与AC垂直的直线交过J7＼r与BC垂直的直l8号华鑫园A601，610031)线于点P，联结AN、BM交于点，设日1、初266△ABC的三边长都是整数，分别为△AML、△BNL的垂心．求证：过点P且垂直于Ⅳ2的直线Z恒过一定点．AB>BC>CA，AB=2AC，BAC的平分线交

3、高268设P、q(P>q)是质数，满足BC于点D．分别以△ABC的三边为一边作P；3(mod4)，k是给定大于3的正整数．求一个正方形，三个正方形的面积和为2009．证：方程+ky'=Pq最多只有一组正整证明：BD与DC的长都是整数．数解．·证明设AC=，BC=Y．则AB=2x．显然，

4、y2=2009—5x<4．证明如图2，作MQ-l-AⅣ于点Q，NP则<2<23(3n+2)(19n+27)．(2)当=16时，Y=27，2x=32，此时，故>1AB=32，BC=27，AC=16．由AD为△ABC的角平分线知>1)．BDAB2．———．．．．———．．．——．．DC

5、—AC一1’因此，／'t)是关于n的单调递增函数．有BD=18，DC=9．由≥睾丽对于一切正整数n所以，BD与DC的长都是整数．(田永海黑龙江省绥化市教育学院，都成立知152054)k~0，且Ⅱ+b+c：2S．+3——n+2求证：对任意的整数，有2由≥丽，得后≤

6、．∑≥(．s，令)=2则其中，“∑”表示循环和．证明由于不等式关于口、6、C是对称f(n+1)Zln,l的，不妨设口≥b≥c．，首先证明：当n是正整数时，所证不等式成立，此时，有口≥6≥c“．．±!)__：!．n)一2当n=l时，∑≥吾是熟知的不等式一．一了万当乃≥2时，号≥l，由柯西不等式有3n+3o／19n+8∑(6+c)·∑≥∑(口号)．①3n+2"q19n+27压互而由幂平均不等式有(3n+2)(19n+27)注意到()i≥半=2了S(3n+3)(19n+8)一(3n+2)(19n+27)=(19n+8)[(

7、3n+3)一(3n+2)]一j(口号+6手+c号)≥3()s②19(3n+21由式①、②知结论成立．=(19n+8)(27n+45n+19)一当n：0时，不等式为19(27n+54n+36n+8)∑≥9’了l，：45，l+37>0．48中等数学(连载十三)数学奥林匹克之路——我愿意做的事裘宗沪这么多年来，作为普委会主任的我对初中联赛有的时候考虑到要引起学生的趣味，又把课外的东的关注和参与也很不够。1993年在内蒙举办初中西安排得多一些，始终没有一个整体的考虑。联赛的时候，内蒙数学会很重视，正、副理事长、秘书世界上很多

8、国家都在举办初中数学竞赛，苏联长几乎全都参加了。那一届的竞赛题目命得很难，从很早就开始举办，随后美国、澳大利亚等国也都相审题时我开玩笑地说，要“放下屠刀，立地成佛”，可继举办，且不论这些国家的初中竞赛成果如何，起码能那是我唯一次在认真地管理初中联赛。之后的他们在命题的风格上是一致的。相比之下，我们的1994年在陕西、1996年在海南我都没有参加