小学奥林匹克数学竞赛辅导——统筹问题(一)

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1、统筹问题（一）　　人们在日常生活、工作中经常碰到一些事情，怎样才能把它们安排得更合理，事半功倍地办好事，这就是统筹学研究的问题。统筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛。本讲主要学习在合理安排、排队和最短路线问题中的一些解题方法和技巧。　　【例1】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？　　［分析］如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着

2、的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。　　［解］10＋40＋10＝60（分）　　答：妈妈干完所有这些事情最少用60分钟。　　［评析］当遇到多个事情需完成时，在做之前常要比较、组合，然后再做，从而达到节省整个时间的目的。这就是统筹安排的基本思想。　　【例2】理发室里有一位理发师，同时来了甲、乙、丙三位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要24、12和20分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使三人理发和等候所用时间的总和最少？三人所用的时间总和是多少？　　［分析］一人理发时，其他人需

3、等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。可安排依次给需12、20、24分钟的人理发。当先给需12分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（12×3）分；然后，给需20分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（20×2）分；最后，给需24分钟的人理发，无人等待。所以，理发和等候共用（12×3＋20×2＋24）分。　　［解］12×3＋20×2＋24＝100（分）　　答：安排依次给需12、20、24分钟的人理发所用时间总和最少。所用的时间总和是100分钟。　　［评析］当需完成的事只能一件一件地做时，为使其它人等待的时间短：思考时应遵循“用时短优先的原则”。　　【例3-1】

4、网吧里有五台电脑同时出现故障，己知第一台到第五台修复时间依次为18、30、17、25、20分钟。现有两名工作效率相同的维修人员，怎样安排才能使得修复的时间最短？　　［分析］因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2＝55（分），从开始到结束，如果每人都连续维修55分钟，可使修复时间最短。这样安排，若一人修需18、17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，所用的修复时间最短，都为55分钟。　　［解］（18＋30＋17＋25＋20）÷2＝55（分）　　答：可让一人修需18、17、20分钟的，另一人修需30、25分钟的，修复的时间最短。　　【例3-2】网吧里有五台电脑同时出现故障，已知第一

5、台到第五台修复时间依次为18、30、17、25、20分钟，每台电脑停机一分钟造成经济损失5角。现有两名工作效率相同的维修人员，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？最少是多少？　　［分析］从例3－1中已知，让一人修需18、17、20分钟的，另一人修需30、25分钟的，可使修复的时间最短。要使经济损失少，就要使总停机时间尽量短，在排序上应遵循“用时短优先”的原则，即先修理修复时间短的。所以，第一人应按需17、18、20分钟的顺序修理，第二人应按需25、30分钟的顺序修理。经济损失最少为5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］＝935（角）　　［解］5×［（17×3＋18×

6、2＋20）＋（25×2＋30）］＝935（角）　　答：第一人按需17、18、20分钟的顺序修理，第二人按需25、30分钟的顺序修理。经济损失最少是935角。　　［评析］对于较复杂的安排，我们既要用到比较、组合的方法思考，还要用到“用时短优先的原则”思考。　　【例4】右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？　　［分析］我们采用分析排除法，将道路图逐步简化，从而找出最佳路线。　　先观察从A到O有两条路，A－C－O用6分钟，A－F－O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF。接着观察从A到E还剩两条路，A—C—

7、G—E用12分钟，A—C—O—E用10分钟，排除前者，可将0G、GE抹去。　　再观察从A到D还剩两条路，A—C—O—D用12分钟，A—F—H—D用13分钟，排除后者，可将AH、HD抹去。最后，从A到B还剩两条路，A—C—O—E—B用17分钟，AC—O—D—B用16分钟，排除前者，可将OE、EB抹去。从而简化为走A—C—O—D—B，共用16分钟。　　［解］1＋5＋6＋4＝16（分）　　答：小明从A到