第41届俄罗斯数学奥林匹克(十年级)

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1、2015年第lO期39第41届俄罗斯数学奥林匹克(十年级)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)10—0039—031．若一个正整数可以表示成两个相差为对任意正整数k，数列的任意连续k项的和1的正整数的积，则称此正整数为“几乎平方为k+1的倍数?数”．证明：每一个几乎平方数均为两个几乎7．设AM、AH分别为非等腰锐角△ABC平方数的比．的中线、高，直线AB上的点Q满足QM．1-AC，2．在~：TABCD中，AB

2、与CE相交，ABF=DCE，BH=CX．求ABC．8．一位钱币收藏家有100枚外表一样的3．在花样自行车的比赛中共有100位裁硬币．收藏家知道其中有30枚真的，70枚假判．每位裁判按自己的意见给所有选手的表的，并且知道所有真币重量相同，所有假币重现排序(没有并列)．已知对任意三位选手A、量互不相同且均比真币重．收藏家有一架天B、c和任意三位裁判X、Y、Z均不会发生下平可以用来比较数量相同的两组硬币重量的面的事情：按裁判X的排序，选手A在三位大小．为了确保可以找出一枚真币至少需要选手中最好而选手B最差；按裁判Y的排称量多少次?序，选手在三位选手中最好而选手C最参考答案差；按裁判的排序，选

3、手C在三位选手中最好而选手最差．证明：存在所有选手表现1．注意到，的一种排序(没有并列)，使得对任意两位选n(+·)=旦三．手、，若比的表现好，则至少有一半的‘几十lJIn十裁判也认为比日的表现好．2．因为点D位于圆厂外，所以，ABC4．用S(k)表示正整数k的各位数码之为锐角．和．对正整数a、n，若存在正整数数列％，口，令A为直线DC与圆，的第二个交点．⋯a满足由BC>AC．知，a+l=a—S(az)(i=0，1，⋯，n一1)，a=a，DCA=CAB>CBA=DAA．则称0为“凡好的”．是否对每个正整数n，均这表明，点A在线段DC沿点C方向的存在正整数为n好的，但不为+1好的?延长线

4、上．5．由一个m×m方格表中的k个格的并又ECA=2(180。一ECA)组成的面积为k的多边形称作“k图形”．已=2ECD=2ABF=A．知方格表为个全等的两两内部不交的k图形的并．证明：方格表也为k个全等的两两内于是，AE：AF部不交的凡图形的并．则点A与A、E与F分别关于／ADC的6．是否存在一个无穷正整数数列满足：平分线对称．中等数学故DAA=DAA下面证明：b>C>b=AC=ADA．事实上，由S(c)≤9，可归纳得因此，ABC=ADA=60。．c≥10一k一9ki．3．将选手看作一张图中的顶点，问题转当i≤n+1时，有化为图论问题．(9+1)≤lOki≤10(n+1)<10“．

5、若至少有51位裁判认为选手A比B表这表明，C至少前k一2d位数码均为9．现好，则从点到B联结一条有向边，记为因此，S(c)／>9(k一2d)．AB．故C≤10一k一9(k一2d)i点4与日没有边相连当且仅当恰有50=10k一(9i+1)≤≤1Ok—k-9(k-2d)i．位裁判认为选手A比B好．类似地，先证明一个引理．lO一9—l≤6≤lO一l一9(k一2d)i．引理若AB，BC，则AC．从而，为了证明c18dn+1．由于至多有49位裁判认为选手B比A由d的选取，知上式成

6、立．好，则存在一位裁判认为选手C比A好，选为了证明b18d(十1)．好，选手比C好．也成立．这与已知条件矛盾．因此，b>C>b．回到原题．由c=(c。)，知C为n好的．对选手的个数rt归纳证明命题．若≤10一1=b0，则当／'t=2时，显然成立．厂”。()≤(bo)=b+。

7、，这个出度为0的f”()(bo)：b>c排在它们之后即可．c不为忍+l好的．下面假设任意顶点的出度和人度均大于5．由题设知m=nk．0．则此时图中必有圈，这与引理矛盾．令d=(m，n)，m=m1d，4．是．n：n1d，(m1，n1)：1．令m)=m—S(m)，f‘表示厂的i次迭由此，m1，n=n1k，得n1lm．代．则／单调不减，且+10)>m)．这表明，方格表可以分成个n×d矩取正整数d满足形的并．10>20d(+1)，k=10．6．不存在．