第36届国际数学奥林匹克试题

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第36届国际数学奥林匹克试题1．（保加利亚）设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD为直径的圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z。若P为XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C和M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B和N。试证：AM、DN和XY三线共点。证法一：*设AM交直线XY于点Q，而DN交直线XY于点Q′（如图95-1，注意：这里只画出了点P在线段XY上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q与Q′重合。由于XY为两圆的根轴，故XY⊥AD，而AC为直径，所以∠QMC=∠PZC=

2、90°进而，Q，M，Z，B四点共圆。同理Q′，N，Z，B四点共圆。这样，利用圆幂定理，可知QP·PZ=MP·PC=XP·PY，Q′P·PZ=NP·PB=XP·PY。所以，QP=Q′P。而Q与Q′都在直线XY上且在直线AD同侧，从而，Q与Q′重合。命题获证。分析二*如图95-2，以XY为弦的任意圆O，只需证明当P确定时，S也确定。证法二：设X（0，m）,P（0，y0），∠PCA=α，m、y0是定值。有，则因此，AM的方程为第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com令，即点S的位置取决于点P的位置，与⊙O无关

3、，所以AM、DN和ZY三条直线共点。2．（俄罗斯）设a、b、c为正实数且满足abc=1。试证：证法一：**设，有于是，原不等式成立。背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第6届IMO试题的证明。什么是增量代换法？——由称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。题1设是某一三角形三边长。求证：（第6届IMO试题）证明不失一般性，设第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com原不等式成立。同时，安振平老师用二元代换法给出

4、第25届IMO试题的证明。什么是二元代换法？——若运用这种方法来论证问题，我们称为二元代换法。题2已知求证：（第25届IMO试题）证明不妨设另一方面，令还有，安振平老师用对称代换法给出了第24届IMO试题的证明。什么是对称代换法？——任意三个正实数构成某一三角形三边的充要条件是存在着三个正实数用这种方法来处理问题，我们称为对称代换法。题3设是三角形的边长，求证：第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（第24届IMO问题）证明设是原不等式等价于原不等式成立。分析二*此题初看起来，左边为反序和，得不出“≥

5、”的结果，但我们可先从条件abc=1入手将原式变形。证法二：记左边为S，则可知S为顺序和。由排序式两式相加，有第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com背景资料：湖北省麻城市一中甘超一老师在《应用排序不等式的方法一技巧》一文中给出了上述证明。他还运用排序不等式方法给出了第17届IMO试题、第20届IMO试题的证明。什么是排序不等式？——排序不等式是：设有两个有序数组：的任一排列，则有（顺序和）（混序和）（逆序和）式中的等号，当且仅当常可简述为：顺序和≥混序和≥逆序和。证明：令由命题得所以同理可证第38页共

6、38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com排序不等式被称为某些著名不等式的共同来尖，用它可证明算术一几何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式及其他更一般的不等工。有兴趣的读者，可参阅《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》（科学普及出版社，1979年）第150页。还可以根据排序不等式来证明第17届IMO试题和第20届IMO试题*题1（第17届IMO试题）求证：如果的任一排列，则证明：因为又因为，故要证的不等式等于上式左边是顺序和，右边是混序和，由排序不等式可知上面不等式成立，从而原不等式获证。题2（第20届IMO试题）已知

7、为任意两两各不相同的正整数。求证：对任何正整数，下列不等式成立：证明：设的一个排列，由于，所以根据排序不等式有，（混序和≥逆序和）即因为于是第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com从而得甘肃省临泽第一中学魏正清老师对于本题给出了九种证明方法*（证法三——第十一个证法十一）证法三利用柯西不等式的推论：得于是证法四利用柯西不等式的推论：得证法五利用权方和不等式的推论：第38页共38页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com得证法六利用均值不等式的推论：令得证法七利

8、用著名的切比雪夫不等式：