第40届俄罗斯奥林匹克数学竞赛九年级试题

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1、第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）1.放置了99个正整数.已知任意两个相邻的数相差1或相差2或一个为另一个的2倍.证明：这99个数中，有3的倍数.2.已知为两个不同的正整数.问：这六个数中，至多有多少个完全平方数？3.令A是由一个凸n边形的若干对角线组成的集合.若集合A中的一条对角线恰有另外一条对角线与其相交在凸n边形内部，则称该对角线为“好的”.求好对角线条数的最大可能值.4.在锐角中，已知，为边的中点，圆为的外接圆，圆在点处的切线交于点，线段与交于点，为的高，的外接圆与圆交于点（异于点）.证明：.5.设正整数，表示的小于的最大因数.若为10的幂，求.1.已知内接于圆

2、的梯形两底分别为，过点的一个圆与线段分别交于点（异于点），（异于点）.若为分别关于中点的对称点，证明：四点共圆.2.麦斯国中央银行决定发行面值为的硬币.央行行长希望能够找到一个正实数，使得对任意为大于2的无理数，且对于任意正整数，理论上均存在若干枚面值之和等于的硬币，其中每种面值的硬币均不超过六枚.问：行长的愿望能够实现吗？3.某国有座城市，任意两座城市之间有双向直达航班.已知对任意两座城市，它们之间的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机票价格互不相同.证明：存在由段依次相连的航班，使得各段航班机票的价格依次严格单调下降.