高三一轮复习数学精品资料：6.3 不等式的证明

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1、§6.3不等式的证明基础自测1.设a、b∈（0，+∞），且ab-a-b≥1,则有（）A.a+b≥2(+1)B.a+b≤+1C.a+b＜+1D.a+b＞2(+1)答案A2.（·宜昌调研）若a,x,y是正数，且+≤a恒成立，则a的最小值为（）A.2B.C.2D.1答案B3.下列三个不等式：①a2+2＞2a;②a2+b2＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.其中，恒成立的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个答案C4.设a、b、c

2、、d、m、n∈R+，P=，Q=·则有（）A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q答案B5.（·安徽合肥5月）设a＞0,b＞0,c＞0,下列不等关系不恒成立的是（）A.c2+c+1＞c2+c-1B.

3、a-b

4、≤

5、a-c

6、+

7、b-c

8、C.若a+4b=1,则＞6.8D.ax2+bx-c≥0（x∈R）答案D例1已知a、b、m、n∈R+.求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm.证明am+n+bm+n-ambn-anbm=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-b

9、n)(am-bm)∵a、b、m、n∈R+,∴当a≥b时，(an-bn)(am-bm)≥0,∴am+n+bm+n≥ambn+anbm,∴a≤b时，(an-bn)(am-bm)≥0,∴am+n+bm+n≥ambn+anbm.综上知：am+n+bm+n≥ambn+anbm.例2已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＞3.证明左式=.∵a,b,c为不全相等的正数，∴≥2,≥2,≥2,且等号不同时成立.∴＞3,即＞3.例3已知a＞b＞0,求证：.证明欲证,只需证∵a＞b＞0,∴只需证即欲证

10、只需证即.该式显然成立.欲证1＜,只需证，即.该式显然成立.∴成立，且以上各步都可逆.∴成立.例4　（14分）设Sn是数列{an}的前n项和，对n∈N*总有Sn=qan+1（q＞0,q≠1）,m,k∈N*,且m≠k.（1）求数列{an}的通项公式an;（2）证明：Sm+k≥(S2m+S2k);（3）证明：当q＞1时，解（1）当n=1时，a1=S1=qa1+1,∵q≠1,∴a1=.1分∵Sn=qan+1,①∴Sn+1=qan+1+1②②-①得Sn+1-Sn=qan+1-qan,∴an+

11、1=qan+1-qan.`3分∴(q-1)an+1=qan,∵q≠1,∴an+1=an.∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列.∴an=×（）n-1.4分(2)由（1）得Sn=qan+1=×（）n-1+1=1-（）n.令=t,则Sm+k=1-tm+k,S2m=1-t2m,S2k=1-t2k,∴Sm+k-(S2m+S2k)=(1-tm+k)-[(1-t2m)+(1-t2k)］7分=［(t2m+t2k)-2tm+k］=(tm-tk)2≥0.∴Sm+k≥(S2m+S2k).9分(3)当q＞1

12、时，t=＞1,∵m≠k,∴t2m≠t2k,1-t2m＜0,1-t2k＜0,1-tm+k＜0.∴-＞11分∵0＜(t2m-1)(t2k-1)=t2m+2k-(t2m+t2k)+1＜t2m+2k-2=(1-tm+k)2.∴13分∴-∴14分1.设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=,n=2,3,4,….(1)求{an}的通项公式；（2）设bn=an,证明bn＜bn+1,其中n为正整数.（1）解由an=,n=2,3,4,…,整理得1-an=-(1-an-1).又1-a1≠0,所以{1-an

13、}是首项为1-a1,公比为-的等比数列，得an=1-(1-a1)n-1(n=2,3,4,…).（2）证明由（1）可知0＜an＜,故bn＞0.所以(3-2an+1)-(3-2an)=-(3-2an)=(an-1)2.又由(1)知an＞0且an≠1,故＞0,因此bn＜bn+1(n为正整数）.2.（·成都模拟）（1）设a、b、c都是正数，求证：≥a+b+c;(2)已知a、b、c∈(0，+∞），且a+b+c=1,求证：≥6.证明（1）∵a、b、c∈（0，+∞），∴都是正数.∴≥2c，≥2a，≥

14、2b.三式相加，得2()≥2(a+b+c).∴≥a+b+c.（2）=≥2+2+2=6.3.若0＜a＜c,b＜c,求证：c-证明c-＜a＜c+,①因为a＜c,故a+c＜2c,又b＜c.所以①式成立.所以原不等式成立.4.已知a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c.求证：.证明方法一（放缩法）∵a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c,∴=∴方法二（构造函数法）令f(x)=,x