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1、2010高三数学一轮复习精品(五)：不等式的证明(1)【知识点精讲】1•比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。②比商法：要证a>b且b>0,只须证a0。b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幕指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。-综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正
2、和等号成立的条件。基本不等式：2+厲2+厲少(1)若a■0,b0,则aaab当且仅当a=b时取等V22ab号。22(2)a,b・R,ab-2ab当且仅当a二b时取等号(3)a,b同号，ab_2当且仅当a二b时取等号ba3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式，综合法是分析法的逆过程4.重点难点：作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的
3、大小”(注意商式的分子分母均正)；综合法证明不等式是“由因导果”。5思维方式：掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。6.特别注意：在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。【例题选讲】例1、已知a,b€R,求证:a2+b2+1>ab+a证明：p=a2+b2+1-ab-a=^［(a2-2abb2)(a2-2a1)b21］」［(a-b)2(a-1)2b21］22显然p>0•••得证［思维点拔］作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”•通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数
4、的性质进行判断212111例2、设a0,b0,求证(旦)2(b户_a"b".ba【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。［证法一】左边-右边=C-a）_£（£b）_（a..b）0,右边>0。左边=（aSa-abb）=（a「abb）_2ab-..ab=1...原不等式成立。右边.ab（、.ab）ab.ab［思维点拔］用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段
5、是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。例3、已知a,b,c为正数n,是正整数，且f（n）=lg—，求证2f（n）0,y>0且xmy求证x3'y3^：：：x2y2i1证明：由x>0,y>0且xmy,要证明x3y3x2'y22只需x3y3「：
6、；：：；x2y2'即2x3y3：：3x2y2x2y2只需2xy::x2y2由条件，显然成立••••原不等式成立［思维点拔］分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式练习：•若a、b、c是不全相等的正数，求证：ga2bgc2bga2c®gbgc【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。ab【证法】(综合法)：幕a,b,c・R',又•••a、b、•ig(¥2c是不全相等的正数，.••有2cbacab,)Igabc即igIg2222ac,abc。2cb,ac+lg——>2Igaigbigc【证法二】即证lg(abcb(分析法)要证Ig-一bIgc_bIgac
7、IgaIgbIgc222ac).Igabc成立。只需证卫.abc成立。2222c-.cb0,——c.ac0。22-ab0,-abc0(*)2又•••a、b、c是不全相等的正数，•••(*)式等号不成立。•••原不等式成立。例5、已知i,m,n是正整数，且1(1+n)m.(I)证明:对于1
