高中数学 6.3不等式的证明（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料一、参考例题［例1］已知a＞0，b＞0，求证：.分析：将不等式左边通分后，可以看到分子化为()3＋（）3的形式，结合右边＋的形式，考虑左、右作差或作商后，都易于化简，故选用作差比较法或作商比较法.证法一：(作差比较法)∵＞0，＞0，（）2≥0∴.证法二：(作商比较法)评述：比较法是把两个数或式的大小判断问题转化为一个数或式与零或1作比较，是一种简化思想，这种思想除可以独立完成某些不等式的证明外，还可以用于对较复杂问题的分析，探索.另外，还应注意通常在不等式两边均为正数时，才考虑运用作商比较法.［例2］求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋

2、b分析：不等式两边是关于a、b的多项式，可考虑运用作差比较法.证法一：a2＋b2＋1－（ab＋a＋b）＝（a－1）2＋（b－1）2＋a＋b－ab－1＝（a－1）2＋（b－1）2－（a－1）（b－1）＝［（a－1）－］2＋（b－1）2≥0∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.证法二：a2＋b2＋1－（ab＋a＋b）＝（2a2＋2b2＋2－2ab－2a－2b）＝［（a－1）2＋（b－1）2＋（a－b）2］≥0∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b证法三：令y＝a2＋b2＋1－（ab＋a＋b）则y＝a2－（b＋1）a＋b2－b＋1将y看作a的二次函数，它的判别式

3、为：Δ＝（b＋1）2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0∴y≥0恒成立.即a2＋b2＋1－（ab＋a＋b）≥0∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.评述：作差比较法的关键在于作差后，如何变形来达到判断差值符号之目的，本例中前两种方法为典型的配方法，且技巧性较强；第三种证法是通过研究二次函数的正负，来确定差的符号.这种方法对于那些较难分解及较难配方的问题，往往很奏效.［例3］已知a>0、b>0，求证：分析：不等式两边均为关于a、b的幂的形式，且都是正数，故可用作商比较法.证明：(1)当a≥b＞0时，则≥1，≥0∴由指数函数的性质可知，（）≥1.

4、(2)当b＞a＞0时，则0＜＜1，＜0∴由指数函数的性质可知：（）＞1综上可知：对于a＞0，b＞0，总有≥1所以，成立.评述：在判断商值与1的大小时，经常要用到常见基本函数的性质.本例用到了指数函数的性质.综观例1、例2、例3说明，多项式型的不等式证明常用作差比较法，其步骤是作差→变形→定号→结论.幂指数型的单项式常用作商比较法，其步骤是作商→变形→与1比较→结论.二、参考练习题1.选择题(1)下列一组不等式：①2｜a｜＞2a，②a3＞a2，③3a＞2a，④3－a＞2－a，⑤lga＞lg（a－1）中，条件不等式的个数为()A.2B.3Ｃ.4D

5、.5答案：C(2)x∈R，那么（1－｜x｜）（1＋x）＞0的一个充分必要条件是()A.｜x｜＜1B.x＜1C.｜x｜＞1D.x＜－1或｜x｜＜1答案：D(3)设a、b、m都是正数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是()A.B.C.D.答案：B(4)若a，b是不等的正数，则abk＋akb－（ak＋1＋bk＋1）（k∈N*）的符号是()A.恒正B.恒负C.与k的奇偶有关D.与a、b的大小有关答案：B(5)设x、y、z∈R，且x2＋y2＝z2，则x3＋y3与z3的大小关系是()A.x3＋y3＝z3B.x3＋y3＞z3C.x3＋y3＜z3D.无法确

6、定答案：D2.填空题(1)当条件满足时，成立.答案：ab＞0，a＞b或ab＜0，a＜b(2)使不等式a2＞b2，＞1，lg（a－b）＞0，2a＞2b－1都成立的a与b的关系式为.答案：a＞b＋1且b＞0(3)设a≥0，b≥0，a＋b＝1，试比较大小：2.答案：≤3.用比较法证明不等式：若a＞b＞0，则aabb＞（ab）.证明：(作商比较法)∵a＞b＞0∴a－b＞0，＞1∴＞1(由指数函数性质可知)即aabb＞ab）.4.求证：3（1＋a2＋a4）≥（1＋a＋a2）2证明：(作差比较法)3（1＋a2＋a4）－（1＋a＋a2）2＝2（a－1）2（

7、a2＋a＋1）≥0故3（1＋a2＋a4）≥（1＋a＋a2）2.5.已知：a，b，c是△ABC中的三边，求证：3（ab＋bc＋ca）≤（a＋b＋c）2＜4（ab＋bc＋ca）证明：(作差比较法)（a＋b＋c）2－3（ab＋bc＋ca）＝［（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2］≥0（a＋b＋c）2－4（ab＋bc＋ca）＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－a－b）＜0(三角形三边的关系定理，若a、b、c为△ABC的三边，则a＜b＋c，即a－b－c＜0)∴3（ab＋bc＋ca）≤（a＋b＋c）2＜4（ab＋bc＋ca）.6.证明：ac

8、＋bd≤证明：(作差比较法)(a2＋b2）（c2＋d2）－（ac＋bd）2＝（ad）2＋（bc）2－2abcd＝（ad－bc）2≥0∴（a2＋b2）（c2＋d2）≥