高中数学 2.1函数（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域(1)y＝－x2＋1(2)y＝(3)y＝(4)y＝＋2(5)y＝(6)y＝(7)y＝（a为常数)分析：当函数是用解析法给出，并且

2、没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.解：(1)x∈R；(2)要使函数有意义，必须使x2－4≠0得原函数定义域为{x｜x∈R且x≠±2}；(3)要使函数有意义，必须使x＋｜x｜≠0，得原函数定义域为{x｜x＞0}；(4)要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x｜1≤x≤4}；(5)要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x｜－2≤x≤2}；(6)要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x｜x＜－1或x＞0或－＜x＜0}；(7)要使函数有意义，必须使ax－3≥0得当a＞0时，原函数定义域为{x｜x≥}；当a＜

3、0时，原函数定义域为{x｜x≤}；当a＝0时，ax－3≥0的解集为，故原函数定义域为。评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.(2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数a，须对它分类讨论.［例2］(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.(2)已知函数f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.(3)已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.分析：(1)求函数定

4、义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f（x）的定义域.(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)∵f（x）的定义域为(0，1)∴要使f（x2）有意义，须使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函数f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}(2)∵f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取

5、值范围是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定义域为1＜x＜3∴函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}(3)∵f（x＋1）的定义域为－2≤x≤3，∴－2≤x≤3令t＝x＋1，∴－1≤t≤4∴f（t）的定义域为－1≤t≤4即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意义，须使－1≤2x2－2≤4，∴－≤x≤－或≤x≤函数f（2x2－2）的定义域为{x｜－≤x≤－或≤x≤}注意：对于以上(2)(3)中的f（t）与f(x)其实质是相同的.评述：(1)对于复合函数f[ｇ（x）]而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f[ｇ（x）]的

6、定义域是使得函数ｇ（x）∈A的x取值范围.(2)如果f[ｇ（x）]的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数ｇ(x)的值域.二、函数的解析式［例1］(1)已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式.(2)已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式.(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用，即：求出f及其定义域.解：(1)设t＝＋1≥1，则＝t－1，∴x＝（t－1）2∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝

7、t2－1（t≥1）∴f（x）＝x2－1（x≥1）(2)∵x3＋＝（x＋）（x2＋－1）＝（x＋）[（x＋）2－3]∴f（x＋）＝（x＋）[（x＋）2－3]∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x∴当x≠0时，x＋≥2或x＋≤－2，∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2）(3)设f（x）＝ax＋b则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17∴a＝2，b＝7，∴f（x）＝2x＋7.注意：对于(1)中f（x）与f(t)本质上一样.评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别

8、采用了这三种方法.值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域.［例2］(1)