高中数学 7.2直线的方程（备课资料） 大纲人教版必修

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1、备课资料参考例题［例1］过点P(2，1）作直线l交x，y正半轴于AB两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l的方程.解：设直线l的方程为：y－1＝k（x－2）（k≠0）令y＝0解得x＝2－x＝0，解得y＝1－2k∴A（2－，0），B（0，1－2k），∴｜AP｜·｜BP｜＝当且仅当k2＝1即k＝±1时，｜PA｜·｜PB｜取到最小值.又根据题意k＜0∴k＝－1所以直线l的方程为：x＋y－3＝0评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k＝1的情形.［例2］一直线被两直线l1：４x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线

2、段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与l1，l2的交点分别是A、B，设A(x0，y0），则B点坐标为(－x0，－y0)因为A、B分别在l1，l2上，①②所以①＋②得：x0＋6y0＝0，即点A在直线x＋6y＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，所以直线l的方程为x＋6y＝0.［例3］直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则()A.A＝，B＝1B.A＝－，B＝－1C.A＝，B＝－1D.A＝－，B＝1解：将直线方程化成斜截式y＝－.因为＝－1，B＝－1故否定A、D.又直线x－y＝3的倾斜角α＝，∴直线Ax＋By

3、－1＝0的倾斜角为2α＝，∴斜率－＝-∴A＝－∴A＝－，B＝－1故选B.［例4］若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件()A.A、B、C同号B.AC＜0，BC＜0C.C＝0，AB＜0D.A＝0，BC＜0解法一：原方程可化为y＝－x－（B≠0）.∵直线通过第二、三、四象限，∴其斜率小于0，y轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0∴＞0，且＞0即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C同号，故选A.解法二：(用排除法)若C＝0，AB＜0，则原方程化为y＝－x.由AB＜0，可知－＞0.∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.若A＝0，BC

4、＜0，则原方程化为y＝－.由BC＜0，得－＞0.∴此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限.故排除D.若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号∴A、B同号，即AB＞0.∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A.［例5］直线y＝ax＋b（a＋b＝0）的图象是()解法一：由已知，直线y＝ax＋b的斜率为a，在y轴上的截距为b.又因为a＋b＝0.∴a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数.图A中，a＞0，b＞0，图B中，a＜0，b＜0图C中，a＞0，b＝0故排除A、B、C.选D.解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以

5、其斜率a≠0，于是令y＝0，解得x＝－.又因为a＋b＝0∴a＝－b，∴x＝－＝＋1∴直线在x轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D.●备课资料参考例题［例1］已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程.分析：由题意知所围三角形为直角三角形，而根据直角三角形面积公式，直线方程应设为截距式较好.解：设直线方程为＝1∵直线斜率k＝∴k＝－＝又S＝｜ab｜＝3解得∴所求直线方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0［例2］过点A(1，４)且纵横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（）A.1B.2C.3D.４分析：此题应注意直线方程截距式的适用前提是横、

6、纵截距都存在且都不为零，同时注意体会分类讨论思想.解：(1)当直线经过原点时，横纵截距都为0，符合题意；(2)当直线不经过原点时，设直线方程为：由题意解得综合(1)(2)，符合题意的直线共有三条.故选C.［例3］一条直线经过A(1，2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4，求这条直线的方程.解：由已知，可设直线方程为＝1.又因直线过点A(1，2)，所以＝1.又已知所求直线与两坐标轴正半轴相交.故a＞0，b＞0，且ab＝４.①②∴解得∴所求直线方程为＝1，即2x＋y－４＝0［例4］已知直线通过点(－2，2），且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求此直线的方程.解法

7、一：设过点（－2，2）的直线方程为：y－2＝k（x＋2）.令y＝0，得x＝－，令x＝0，得y＝2k＋2，由已知得｜（－）（2k＋2）｜＝1，即2（k＋1）2＝｜k｜(1)当k＜0时，方程化为2k2＋5k＋2＝0.解得k＝－2或k＝－.所求直线方程为：2x＋y＋2＝0和x＋2y－2＝0(2)当k＞0时，方程化为2k2＋3k＋2＝0∵Δ＝9－４×2×2＜0∴方程无实解解法二：设方程为＝1，由已知，有解方程组(1)得；而方程组(2)无解，故所求方程为：＋y＝1或－x－＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.［例5］直线y＝ax＋2穿过以A（1，４）、B