高考第一轮复习数学：6.3 不等式的证明(二)

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1、6.3不等式的证明（二）●知识梳理1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之

2、间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基1.若不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A.［－2，）B.（－2，）C.［－3，）D.（－3，）解析：当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，∴a＜2－=.当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）.答案：A2.若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A.a2＜b2B.ab＜b2　　　　C.+＞2D.

3、a

4、+

5、b

6、＞

7、a+b

8、解析：由＜＜0，知b＜a＜0.　　∴A不正确.答案：A3.分析法

9、是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A4.（理）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，则am与bm的大小关系是____________.解析：若d=0或q=1，则am=bm.若d≠0，画出an=a1+（n－1）d与bn=b1·qn－1的图象，易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm（文）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小

10、关系是____________.解析：an+1=≥==bn+1.　答案：an+1≥bn+15.若a＞b＞c，则+_______.（填“＞”“=”“＜”）解析：a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］≥2·2=4.∴+≥＞.答案：＞●典例剖析【例1】设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）＜loga2＋.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.证明：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax

11、＋ay≥2＝2a.∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证ax＋ay≥2·a即可．【例2】已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，即证［（a+b

12、+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，（b+c）+（c+a）≥2＞0，（c+a）+（a+b）≥2＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：－1＜.证法一：要证－1＜，即证a＜（+1）n.令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证

13、t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，即－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证＞x－1，即证＞n.联想到等比数列前n项和1+x+…+xn－1=，①倒序xn－1+xn－2+…+1=.②①+②得2·=（1+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1）＞2+2+…+2＞2n.∴＞n.思考讨论本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.●闯关训练夯实基础1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能确定解析：∵x

14、2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B2.对实数a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要条件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3=（x－