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《高考数学复习点拨 双曲线的简单几何性质概要》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、双曲线的简单几何性质概要 1、双曲线-=1的简单几何性质 (1)范围:|x|≥a,y∈R. (2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2=a2+b2.与椭圆不同. (4)渐近线:双曲线特有的性质,方程y=±x,或令双曲线标准方程-=1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e=>1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2
2、=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±x,离心率e=. (7)共轭双曲线:方程-=1与-=-1表示的双曲线共轭,有共同的渐近线和相等的焦距,但需注意方程的表达形式. 注意: (1)与双曲线-=1共渐近线的双曲线系方程可表示为-=λ(λ≠0且λ为待定常数) (2)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为-=1(λ<a2,其中b2-λ>0时为椭圆,b2<λ<a2时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x=的距离之比等于常数e=(c>a>0)的点的轨迹是
3、双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,焦准距(焦参数)p=,与椭圆相同. 焦半径(-=1,F1(-c,0)、F2(c,0)),点p(x0,y0)在双曲线-=1的右支上时,|pF1|=ex0+a,|pF2|=ex0-a; P在左支上时,则|PF1|-(ex1+a),|PF2|=-(ex1-a). 3、重难点 本节重点是双曲线的几何性质,双曲线的第二定义及其应用,难点是双曲线的渐近线方程,第二定义,几何性质的应用. 4、学习要求: 学习双曲线的几何性质,可以用类比思想,即象讨论椭圆的几何性质一
4、样去研究双曲线的标准方程,从而得出双曲线的几何性质,将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比,便于掌握. 双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切;直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式,韦达定理等;渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识,是高考的主要内容. 通过本节内容的学习,培养同学们良好的个性品质和科学态度,培养同学们的良好的学习习惯和创新精神,进行辩证唯物主义世界观教育. 5、典型热点考题】 例1已知双曲线-=1(a>0,b>0)左、右焦
5、点分别为F1和F2,P是它左支上点,P到左准线距离为d. 问:是否存在这样的点P,使d,|PF1|,|PF2|成等比数列,说明理由. 分析:对于存在性问题,先假设存在满足题意的对象,然后结合题设条件进行判断. 设存在P(x0,y0)且x0≤-a,使d,|PF1|,|PF2|成等比数列,则|PF1|2=d|PF2|, 设d′为P点到右准线的距离,由双曲线第二定义得: ==e∴|PF1|=ed, ∴(ed)2=d·ed′,∴ed=d′, ∴e(--x0)=-x0+, ∴x0=,∵x0≤-a, ∴≤-
6、a,∴e2-2e-1≤0, ∴1-≤e≤+1,又e>1, ∴1<e≤+1. 故当双曲线的离心率e∈(1,+1)时,存在满足条件的P,而当e∈(+1,+∞)时,不存在满足条件的点P. 注:利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式|PF1|+|PF2|≥|F1F2|求解,请同学们自己完成. 例2如图,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线段所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当(≤λ≤)时,求双曲线离心率e的取值范围. 分析:
7、如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系,则CD⊥y轴. 因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意,记A(-C,0),C(,h),E(x0,y0,)其中c=|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高. 由定比分点坐标公式得 x0==,y0= -=1, ① ()2-()2=1 ② 由①式得=-1 ③ 把③式代入②式,整理得(4-4λ)=1+2λ, 故λ=1-。 由题设≤λ≤得≤1-≤.
8、 解得≤e≤. 所以双曲线的离心率的取值范围为[,]. 注:本例先求出C点纵坐标,用a、b、c表示,然后将E点坐标用λ表示,并代入双曲线方程,而得到含有e与λ的等式,由λ范围求出e的范围. 例3已知双曲线的两个焦点分别为M、N,点M的坐标为(-2,-12),点S(-7,0)、T(7,0)在双曲线. (1)利用双曲线定义,求点N的轨迹方程; (2)是否存在过P(1