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《高考数学复习点拨 椭圆的简单几何性质点拨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、椭圆的简单几何性质点拨 一．基础知识精讲 1.椭圆+=1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b. 2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心. 3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b) 4.离心率：e=,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆. 5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e
2、＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线. 6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0. 7.椭圆的参数方程 二．命题趋势分析 1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题. 2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，这样计算简洁，还可避免对焦点位置的讨论. 3.遇到弦的中点问题时，常用点差法. 三．重点难点例析 通过“圆的方程”的学
3、习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义. 例1P是椭圆方程为+=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围. 解析：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4-，4+］且｜PF2｜=2a-t=8-t. ∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16t∈［4-，4+］ 当t=4时，取最大值为16， 当t=4
4、±时，取最小值为9. ∴所求范围为［9，16］。 例2 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e. 解析：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=t，由椭圆定义有： ｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a， ∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a即(+2)t=4a,t=(4-2)a， ∴｜PF2｜=2a-t=(2-2)a， 在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2， ∴［(4-2)a］2+［(2-2)a］2=(2c)2
5、 ∴=9-6∴e==-， 例3已知P是椭圆+=1(a＞b＞0)上的一点，F1F2为两焦点，且F1P⊥F2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程. 解析：(利用椭圆第二定义求解) ∵点P到两准线的距离分别是6和12 ∴2·=6+12即a2=9c 由椭圆第二定义知，e== ∵d1=6,d2=12∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e 又∵PF1⊥PF2∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2 ∴36e2+144e2=4c2∵e=∴a2=45 又a2=9c∴c=5∴b2=a2-c2= ∴所求椭圆的方程的+=1 例4在椭圆
6、3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由. 解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0)， 直线AB：y=-x+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0 ∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0， ∴-＜t＜ ①且x1+x2=t 又AB的中点M在直线y=4x+m上， ∴t=4×t+m∴t=-m 代入①式得：-＜m＜。 解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则 +=1
7、①+=1 ② ①-②得+=0 ∴= 而KAB==-， 故有=-， 设AB的中点为(x,y)，则有x1+x2=2x,y1+y2=2y， 代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x. 由 由于AB的中点在椭圆内部 ∴+＜1m2＜， -＜m＜。 故当m∈(-，)时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称. 例5椭圆=1上不同三点A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列. (1)求证：x1+x2=8。 (2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k. 解析：由题知a=5,b=3,c=
8、4. (1)由椭圆的第二定义知： =｜AF｜=a-x1=5-x1 同理有｜CF｜=5-x
