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时间:2018-05-03
《高考数学复习点拨 椭圆知识求解的误区》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、椭圆知识求解的误区 在学习椭圆的过程中,初学者往往由于对概念理解不全或忽视某种情形而导致误解.现就同学们易出现的常见误区以归纳剖析,以避免再出现类似错误.误区之一:忽视椭圆定义例1平面内一点M到两定点F1(0,-5)、F2(0,5)的距离之和为10,则M点的轨迹为()A.椭圆B.圆C.直线D.线段错解:根据椭圆的定义,M点的轨迹为椭圆,故选A.剖析:在椭圆的定义中,点M到两定点F1、F2的距离之和必须大于两定点的距离,即,亦即.而本题中,所以,点M的轨迹不为椭圆,而是线段F1F2.正解:因为点M到两定点F1、F2的距离之和为│F1F2│,所
2、以点M的轨迹是线段F1F2,故选D.误区之二:忽视焦点的具体位置例2 椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点A(-3,0),B(0,),求椭圆的方程.错解:(1)当焦点在轴上时,可设方程为,则=3,=,得所求方程为.(2)当焦点在轴上时,同样可求得椭圆方程为. 剖析:本题错解的原因是误认为焦点位置不定,事实上,本题由A、B是椭圆与坐标轴交点知,A、B是顶点,由3>知A为长轴端点,而B为短轴端点.由此知焦点只能在轴上.评注:在求椭圆方程时,不少同学往往忽视焦点位置而盲目求解,以至于造成解题的片面性而出错.求曲线方程时,若能确定焦点的
3、具体位置,应确定,以防出现增解;若没给定坐标系,且焦点位置不能确定,要写出焦点在轴、轴两种情况下的标准方程,不能遗漏.误区之三:忽视隐含条件例3 若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围.错解:因为恒过点(0,1),而当时,点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上.所以实数的取值范围为[1,). 剖析:本题错误的原因是忽视了这个隐含条件,事实上,当时,不是椭圆,它是以原点为圆心,半径为的圆. 因此,的取值范围应为[1,5)(5, ).评注:同学们在解答椭圆等圆锥曲线问题时,忽视隐含条件致错的现象较为严重,为此,解题时,一定要仔细审题,挖掘出题设中
4、的隐含条件.误区之四:缺乏分类意识,以偏概全. 例4 已知椭圆的离心率,求的值.错解:由已知得,,, ∴ ∴,即.解之得.剖析:题设中与5的大小关系不能确定,本题上述解法中只求了的情况.正解:当时,,, ∴ 由已知得:.解之得.当时,,, ∴ 由已知得:.解之得.故或. 评注:在解椭圆的有关问题时,有时需要进行正确的分类讨论,否则极易犯以偏概全的错误,如当字母的取值范围不能确定时,就需要分类讨论.误区之五:忽视存在性.例5已知椭圆的两个焦点分别为,,试问在该椭圆上是否存在一点P使?若存在求三角形的面积;若不存在,说明理由. 错解:假设在
5、该椭圆上存在一点P()使,F1F2OP图3 由得:,故. 又由于,所以由椭圆的第一定义及勾股定理得:,∴∴ 的面积因此在椭圆上存在一点P满足条件.剖析:表面上看上述解法天衣无缝,无懈可击,但本题的答案却是错误的,错因在于忽视了点P的存在性.事实上,如图3,以为直径的圆内含于椭圆中,与该椭圆无交点,所以根本不存在这样的点P使.正解:因为,故,,设P()是符合条件的点,由可得:,即,故………………①又因点P()在椭圆上,故……………②联立以上两方程得:,故该方程无实数解,从而上述的方程组无解,即所设的点P()不存在,所以满足条件的点P()根
6、本不存在.评注:解答椭圆问题时,常常会出现因不注意问题的存在性从而致使问题的解答出错的现象.遇到这样的问题,常需对问题的结果进行检验.检验不仅能检查结果是否正确、完整,弥补缺漏,而且是自我监督的好方法,是培养独立思维能力的有效途径.
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