高考数学复习点拨 椭圆标准方程的求法

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1、椭圆标准方程的求法1．定义法例1　已知的顶点的坐标分别为，边上的中线与边上的中线交于点，并且，求点的轨迹方程．解析：由题意知，点是的重心，因此．由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，以10为长轴长的椭圆；由于在轴上且关于轴对称，所以，所求椭圆是中心在原点且焦点在轴上的椭圆；于是由得，从而得．因为点三点不能共线，所以点的轨迹方程为．评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴为是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量．2．待定系数法例2　已知椭圆的焦距离为且过点，求焦点在轴上时，它的标准方程．解析：焦点在轴上，设

2、所求方程为，由题意得解之得因此，所求方程为．评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．3．轨迹法例3　点到定点的距离与定直线的距离之比为，求动点的轨迹方程．解析：设为动点到定直线的距离，根据题意动点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简得，即为所求．评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．