浅谈二次函数在高中数学中的应用

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1、浅谈二次函数在高中数学中的应用二次函数是初中函数的的主要内容，也是高中学习的重要基础。由于初中学生的理解能力和接受能力有限，这部份内容的学习多是机械模仿的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，需要对二次函数的基本性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性，有界性）作深入的研究，并且在解题中经常要用到。一、加深理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又重新学习了函数概念，主要是通过两个非空数集间的对应关系来解析函数，这时就可以用学生已经学过的函数，特别是二次函数为例来加深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的对

2、应ƒ:A→B，使得集合A中的任意一个元素x与集合B中唯一的元素y=ax2+bx+c(a≠0)对应，记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应关系，进而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。例1.已知ƒ(x)=2x2+3x+2，求ƒ(1)，ƒ(a)ƒ(x+1)解析：ƒ(1)是当x=1时的函数值，ƒ(a)是当x=a时的函数值，ƒ(x+1)是把x+1当作自变量，施加f的对应法则。例2.设ƒ(x+1)=x2－4x+2,求ƒ(x)解析：已知对应法则ƒ下，自变量x+1对应的式子是x2－4x+1，而对x+1这个整体的对应关系才是对应法则f，其本质是求对应

3、法则。解法一：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+7，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+7解法二：(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+7从而ƒ(x)=x2－6x+7二、二次函数的性质在解题中的应用二次函数的性质①函数的图象关于直线对称。②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大

4、而减少。当时，取得最大值1.与二次函数相关的函数图象例3.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2

5、x－1

6、－1（2）y=

7、x2－1

8、（3）=x2+2

9、x

10、－1解析：要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。2.定区间不定对称轴或定对称轴不定区间求最值问题例4.设ƒ(x)=x2－2x－2在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求：g(t)并画出y=g(t)的图象解析：二次函数在实数集合R上只有最小值或只有最大值，当定义域发生变化时，函数对应的图象也发生变化，取最大或最小值的情况也随之变

11、化，ƒ(x)=x2－2x－2=(x－1)2－3，在x=1时取最小值－3当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－3当t＞1时，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－2当t＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2－3t2－3,(t<0)g(t)=-3，(0≤t≤1)t2－2t－2,(t>1)三．二次函数图象在相应的一元二次不等式中的应用二次函数的交点式()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点。，二次函数（）的图象一元二次方程()的根有两实根有两个相等的实根无实根一式元的二解次集不等()的解集全体实数()的解集无解无解注：对的解的结构可记为：（）的解为“大于大根或小于小根”；

12、（）的解为“大于小根且小于大根”例5解下列不等式：（1）（2）（3）四．二次函数图象在含参一元二次方程实根分布中的应用例1当m取什么实数时，方程4+(m-2)x+(m-5)=0分别有:（1）一正根和一负根；（2）两根都大于1.（3）两根都在（1，5）内（4）一根在（1，2）内，另一根在（3，4）内（１）（２）y0x　　　ｆ（０）＜０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ（０）＞０（３）y（４）y　　　　　　　０　１　　　　５　　ｘ　　　　　　　　　　0123

13、　4x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ（１）ｆ（２）０　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ（３）ｆ（４）０　　　ｆ（１）０ｆ（５）０二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的初等函数，可以通过它来研究函数的性质，可以用来研究函数、方程、不等式之间的联系，，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，锻炼学生的数学思维能力，提高学生用数学知识，数学思想方法解决问题的能力。本文是本人在教学中的一点总结和体会，有不到之处请各位同仁批评指正。