浅谈二次函数在高中数学中的分析与应用人教版new

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1、浅谈二次函数在高中数学中的分析与应用在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函

2、数是从一个集合A（定义域）到集合B（值2域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c(a≠0)与集合A的22元素X对应，记为ƒ(x)=ax+bx+c(a≠0)这里ax+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：2类型I：已知ƒ(x)=2x+x+2，求ƒ(x+1)这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。2类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x－4x+1,求ƒ(x)2这个问题理解

3、为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：用心爱心专心115号编辑(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。ƒ222(x+1)=x－4x+1=(x+1)－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x－6x+6(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。222令t=x+1，则x=t-1∴(t)=(t-1)－4(t-1)+1=t－6t+6从而ƒ(x)=x－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。2在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax+b

4、x+c在bb区间（－∞，－]及[－，+∞）上的单调性的结论用定义进行严2a2a格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。2（1）y=x+2

5、x－1

6、－12（2）y=

7、x－1

8、2（3）=x+2

9、x

10、－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。2类型Ⅳ设ƒ(x)=x－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值

11、是g(t)。求：g(t)并画出y=g(t)的图象22解：ƒ(x)=x－2x－1=(x－1)－2，在x=1时取最小值－2当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－22当t＞1时，g(t)=ƒ(t)=t－2t－12当t＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t－22t－2,(t<0)用心爱心专心115号编辑g(t)=-2，(0≤t≤1)2t－2t－1,(t>1)首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充

12、一些练习。2如：y=3x－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：2类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根1x1，x2满足0

13、可变为ax+(b－1)x+1=0，它的两根为x,x，12可得到x1,x与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法2②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的2根，ƒ(x)=ax+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)因为00,又a＞0,因此ƒ(x)＞0,即ƒ(x

14、)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x)c1根据韦达定理,有x1x2=∵0＜x＜x<12，c=axx